תוכן העניינים
\(\:\)עקרונות מנחים לכתיבת פקודותMacros LatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"
- כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
- כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
- הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
- על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר.
לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות. - כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
- לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKind}{\text{Ind}}\)אינדקס ליפוף. מרוכבות.
\(\newcommand{\MKres}{\text{Res}}\)שארית (residue). מרוכבות.
\(\:\)אינפי', יריעות ופונקציונלית\(\:\)
\(\newcommand{\MKarsinh}{\text{arsinh}}\)סינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKarcosh}{\text{arcosh}}\)קוסינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKartanh}{\text{artanh}}\)טנגנס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKar}{\text{ar}}\)יחס אורך-רוחב (aspect ratio). אינפי'.
\(\newcommand{\MKclos}{\text{Cl}}\)סגור (closure). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiam}{\text{diam}}\)קוטר (diameter). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiv}{\text{div}}\)דיברגנץ (divergence). יריעות.
\(\newcommand{\MKext}{\text{Ext}}\)חוץ (exterior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKint}{\text{Int}}\)פנים (interior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKop}{\text{op}}\)נורמה אופרטורית. אינפי'.
\(\newcommand{\MKvol}{\text{Vol}}\)נפח של קבוצה (volume). יריעות.
\(\newcommand{\MKsupp}{\text{Supp}}\)התומך של פונקציה (support). פונקציונלית.
\(\:\)אלגברה ליניארית ומבנים אלגבריים\(\:\)
\(\newcommand{\MKadj}{\text{adj}}\)המטריצה המצורפת (adjoint). ליניארית.
\(\newcommand{\MKaut}{\text{Aut}}\)חבורת האוטומורפיזמים. מבנים.
\(\newcommand{\MKchar}{\text{char}}\)המציין של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKcor}{\text{Core}}\)הליבה של חבורה (core). מבנים.
\(\newcommand{\MKend}{\text{End}}\)קבוצת האנדומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKfix}{\text{Fix}}\)קבוצת נקודות השבת של פונקציה או איבר בחבורה. מבנים.
\(\newcommand{\MKgal}{\text{Gal}}\)חבורת גלואה של הרחבת שדות. מבנים.
\(\newcommand{\MKgl}{\text{GL}}\)חבורת המטריצות ההפיכות. מבנים.
\(\newcommand{\MKhom}{\text{Hom}}\)קבוצת ההומומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKinn}{\text{Inn}}\)חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים (inner). מבנים.
\(\newcommand{\MKnull}{\text{null}}\)דרגת האפסיות של העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKorth}{\text{O}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות.
\(\newcommand{\MKout}{\text{Out}}\)חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים (outer). מבנים.
\(\newcommand{\MKrank}{\text{rk}}\)דרגה של מטריצה/העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKsep}{\text{sep}}\)משמש לסימון הסגור הספרבילי של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKsl}{\text{SL}}\)חבורת המטריצות בעלות דטרמיננטה\(1\). ליניארית ומבנים.
\(\newcommand{\MKso}{\text{SO}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKsu}{\text{SU}}\)חבורת המטריצות האוניטריות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKspan}{\text{span}}\)פרוש. ליניארית.
\(\newcommand{\MKtrace}{\text{tr}}\)עקבה (trace). ליניארית.
\(\:\)תורת הקבוצות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcupdot}{\mathbin{\cupdot}}\)איחוד זרתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\mathbin{\bigcupdot}}\)איחוד זר גדולתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdom}{\text{dom}}\)תחום ההגדרה של פונקציה (domain). קבוצות.
\(\newcommand{\MKrng}{\text{rng}}\)הטווח של פונקציה (range). קבוצות.
\(\renewcommand{\MKim}{\text{Im}}\)תמונה של פונקציה.מופיע גם כחלק מדומה של מספר מרוכב.
\(\newcommand{\MKsequ}{\text{Seq}}\)קבוצת הסדרות הסופיות של איברים מתוך קבוצה נתונה.
\(\:\)תורת ההסתברות\(\:\)
\(\newcommand{\MKalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{=}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKsmallalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\leq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKgreatalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\geq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKvar}{\text{Var}}\)שונות (variance).
\(\newcommand{\MKcovar}{\text{Cov}}\)שונות (co-variance).
\(\newcommand{\MKdist}{\overset{\text{d}}{=}}\)שוויון התפלגויות (distributions) בין משתנים מקריים.
\(\newcommand{\MKber}{\text{Ber}}\)התפלגות ברנולי.
\(\newcommand{\MKunif}{\text{Unif}}\)התפלגות אחידה.
\(\newcommand{\MKgeo}{\text{Geo}}\)התפלגות גאומטרית.
\(\newcommand{\MKbin}{\text{Bin}}\)התפלגות בינומית.
\(\newcommand{\MKpoi}{\text{Poi}}\)התפלגות פואסון.
\(\newcommand{\MKhypergeo}{\text{HG}}\)התפלגות היפר-גאומטרית.
\(\:\)שונותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKnotequiv}{\not\equiv}\)
\(\newcommand{\MKtickmark}{\textcolor{green}{\checkmark}}\)
\(\newcommand{\MKxmark}{{\color{red}\boldsymbol{\times}}}\)
\(\:\)מדעי המחשב\(\:\)
\(\newcommand{\MKdin}{d_{\text{in}}}\)דרגת הכניסה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKdout}{d_{\text{out}}}\)דרגת היציאה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKfalse}{\text{False}}\)ערך שקר של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\renewcommand{\MKnull}{\text{null}}\)ערךnull. דאסט.
\(\newcommand{\MKtrue}{\text{True}}\)ערך אמת של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\:\)פיזיקה\(\:\)
\(\newcommand{\MKtot}{\text{tot}}\)קיצור שלtotal, מכניקה.
\(\renewcommand{\MKext}{\text{ext}}\)קיצור שלexternal, מכניקה.
\(\newcommand{\MKconst}{\text{Const}}\)קיצור שלconstant, מכניקה.
\(\newcommand{\MKeff}{\text{eff}}\)קיצור שלeffective, מכניקה.
\(\:\)מספרים שלמים\(\:\)
\(\newcommand{\MKeven}{\text{Even}}\)קבוצת הזוגיים
\(\newcommand{\MKodd}{\text{Odd}}\)קבוצת האי-זוגיים
\(\newcommand{\MKprime}{\text{Prime}}\)קבוצת הראשוניים. תורת המספרים.
\(\:\)פונקציות שונות\(\:\)
\(\newcommand{\MKid}{\text{Id}}\)פונקציית הזהות.
\(\newcommand{\MKlcm}{\text{lcm}}\)כפולה משותפת מינימלית
\(\newcommand{\MKord}{\text{Ord}}\)סדר (order). תורת המספרים.
\(\newcommand{\MKsign}{\text{sgn}}\)פונקציית הסימן
\(\:\)גופניםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)גופןmathbb: הטבעיים, השלמים. הרציונליים. הממשיים. המרוכבים ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKbba}{\mathbb{A}}\)
\(\newcommand{\MKbbb}{\mathbb{B}}\)
\(\newcommand{\MKcomplex}{\mathbb{C}}\)המספרים המרוכבים
\(\newcommand{\MKbbd}{\mathbb{D}}\)
\(\newcommand{\MKbbe}{\mathbb{E}}\)
\(\newcommand{\MKfield}{\mathbb{F}}\)שדה
\(\newcommand{\MKbbg}{\mathbb{G}}\)
\(\newcommand{\MKbbh}{\mathbb{H}}\)
\(\newcommand{\MKbbi}{\mathbb{I}}\)
\(\newcommand{\MKbbj}{\mathbb{J}}\)
\(\newcommand{\MKbbk}{\mathbb{K}}\)
\(\newcommand{\MKbbl}{\mathbb{L}}\)
\(\newcommand{\MKbbm}{\mathbb{M}}\)
\(\newcommand{\MKnatural}{\mathbb{N}}\)המספרים הטבעיים
\(\newcommand{\MKbbo}{\mathbb{O}}\)
\(\newcommand{\MKbbp}{\mathbb{P}}\)
\(\newcommand{\MKrational}{\mathbb{Q}}\)המספרים הרציונליים
\(\newcommand{\MKreal}{\mathbb{R}}\)המספרים הממשיים
\(\newcommand{\MKbbs}{\mathbb{S}}\)
\(\newcommand{\MKbbt}{\mathbb{T}}\)
\(\newcommand{\MKbbu}{\mathbb{U}}\)
\(\newcommand{\MKbbv}{\mathbb{V}}\)
\(\newcommand{\MKbbw}{\mathbb{W}}\)
\(\newcommand{\MKbbx}{\mathbb{X}}\)
\(\newcommand{\MKbby}{\mathbb{Y}}\)
\(\newcommand{\MKinteger}{\mathbb{Z}}\)המספרים השלמים
\(\newcommand{\MKindicator}{\mathds{1}}\)פונקציה מציינת - אינדיקטור
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 מכפלות פנימיות
1.1 ההגדרות הבסיסיות
הגדרה 1.1. מכפלה פנימית מעל הממשיים
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\MKreal\), פונקציה \(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\MKreal\) תקרא מכפלה פנימית על \(V\) אם לכל \(v,w,u\in V\) ולכל \(\lambda\in\MKreal\) מתקיימות התכונות הבאות:
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\MKreal\), פונקציה \(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\MKreal\) תקרא מכפלה פנימית על \(V\) אם לכל \(v,w,u\in V\) ולכל \(\lambda\in\MKreal\) מתקיימות התכונות הבאות:
- בי-ליניאריות:\[\begin{align*} \left\langle v\mid w+u\right\rangle & =\left\langle v\mid w\right\rangle +\left\langle v\mid u\right\rangle \\ \left\langle v\mid\lambda\cdot w\right\rangle & =\lambda\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle \\ \left\langle v+u\mid w\right\rangle & =\left\langle v\mid w\right\rangle +\left\langle u\mid w\right\rangle \\ \left\langle \lambda\cdot v\mid w\right\rangle & =\lambda\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle \end{align*}\]
- סימטריה:\[ \left\langle w\mid v\right\rangle =\left\langle v\mid w\right\rangle \]
- חיוביות בהחלט:\[ \left\langle v\mid v\right\rangle \geq0 \]\[ \left\langle v\mid v\right\rangle =0\Longleftrightarrow v=0_{V} \]
הגדרה 1.2. מרחב וקטורי מעל \(\MKreal\) שמוגדרת עליו מכפלה פנימית נקרא מרחב מכפלה פנימית, ואם הוא נוצר סופית נקרא גם מרחב אוקלידי.
- \(\clubsuit\)
- אם נקבע את אחד הרכיבים נקבל העתקה ליניארית: ההעתקה \(l_{v}:V\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י \(l_{v}\left(w\right):=\left\langle v\mid w\right\rangle =\left\langle w\mid v\right\rangle \) לכל \(w\in V\) היא העתקה ליניארית - הליניאריות נובעת מהליניאריות של המכפלה הפנימית ברכיב השני.
- \(\clubsuit\)
- נשים לב שלכל \(v\in V\) מתקיים \(\overline{\left\langle v\mid v\right\rangle }=\left\langle v\mid v\right\rangle \) ולכן \(\left\langle v\mid v\right\rangle \in\MKreal\), מסיבה זו לא היינו צריכים לדרוש ש-\(\left\langle v\mid v\right\rangle \in\MKreal\) לכל \(v\in V\) במסגרת החיוביות בהחלט.
- \(\clubsuit\)
- אם נקבע את הרכיב השמאלי נקבל העתקה ליניארית: ההעתקה \(l_{v}:V\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י \(l_{v}\left(w\right):=\left\langle v\mid w\right\rangle \) לכל \(w\in V\) היא העתקה ליניארית - הליניאריות נובעת מהליניאריות של המכפלה הפנימית ברכיב הימני.
- \(\clubsuit\)
- במקומות אחרים (כמו ויקיפדיה) מחליפים בין שני הרכיבים: ברכיב השמאלי יש ליניאריות מלאה וברכיב הימני מתקיים \(\left\langle v\mid\lambda\cdot w\right\rangle =\overline{\lambda}\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle \).
- \(\clubsuit\)
- ניתן היה להגדיר את שתי המכפלות בבת אחת בצורה המינימליסטית הבאה:הגדרה. יהי \(V\) מ"ו מעל לשדה \(\MKfield\) כאשר \(\MKfield=\MKreal\) או \(\MKfield=\MKcomplex\), פונקציה \(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\MKcomplex\) תקרא מכפלה פנימית על \(V\) אם היא לכל \(v,w,u\in V\) ולכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיימות התכונות הבאות:
- ליניאריות ברכיב הימני:\[\begin{align*} \left\langle v\mid w+u\right\rangle & =\left\langle v\mid w\right\rangle +\left\langle v\mid u\right\rangle \\ \left\langle v\mid\lambda\cdot w\right\rangle & =\lambda\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle \end{align*}\]
- סימטריה הרמיטית:\[ \left\langle w\mid v\right\rangle =\overline{\left\langle v\mid w\right\rangle } \]
- חיוביות בהחלט:\[ \left\langle v\mid v\right\rangle \geq0 \]\[ \left\langle v\mid v\right\rangle =0\Longleftrightarrow v=0_{V} \]
כשמדובר ב-\(\MKreal\) ההצמדה של הסימטריה ההרמיטית אינה משנה דבר ומדובר בסימטריה רגילה, אנחנו נשתמש בקיצור הדרך הזה פעמים רבות מבלי להזכיר זאת.
את הליניאריות למחצה ברכיב השמאלי היינו מקבלים מהליניאריות ברכיב הימני ומהסימטריה ההרמיטית:\[\begin{align*} \left\langle v+u\mid w\right\rangle & =\overline{\left\langle w\mid v+u\right\rangle }=\overline{\left\langle w\mid v\right\rangle +\left\langle w\mid u\right\rangle }=\overline{\left\langle w\mid v\right\rangle }+\overline{\left\langle w\mid u\right\rangle }=\left\langle v\mid w\right\rangle +\left\langle u\mid w\right\rangle \\ \left\langle \lambda\cdot v\mid w\right\rangle & =\overline{\left\langle w\mid\lambda\cdot v\right\rangle }=\overline{\lambda\cdot\left\langle w\mid v\right\rangle }=\overline{\lambda}\cdot\overline{\left\langle w\mid v\right\rangle }=\overline{\lambda}\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle \end{align*}\]למעשה זוהי הסיבה לכך שלא היינו יכולים לדרוש ליניאריות מלאה ברכיב השמאלי (במכפלה ההרמיטית), היינו מקבלים סתירה. - \(\clubsuit\)
- א"א אפשר לדרוש סימטריה רגילה במקום סימטריה הרמיטית (מעל \(\MKcomplex\)) מפני שתכונת החיוביות במכפלה הפנימית מחייבת ש-\(\left\langle v\mid v\right\rangle \in\MKreal\subseteq\MKcomplex\) לכל \(v\in V\) (שהרי \(\MKcomplex\) אינו שדה סדור), ולכן הדרישה לסימטריה רגילה תוביל לדרישת הסימטריה ההרמיטית שכן לכל \(v,w\in V\) יתקיים: \[ \overline{\left\langle v\mid v\right\rangle }+\overline{\left\langle v\mid w\right\rangle }+\overline{\left\langle w\mid v\right\rangle }+\overline{\left\langle w\mid w\right\rangle }=\overline{\left\langle v+w\mid v+w\right\rangle }=\left\langle v+w\mid v+w\right\rangle =\left\langle v\mid v\right\rangle +\left\langle v\mid w\right\rangle +\left\langle w\mid v\right\rangle +\left\langle w\mid w\right\rangle \]\[ \Rightarrow\overline{\left\langle v\mid w\right\rangle }+\overline{\left\langle w\mid v\right\rangle }=\left\langle v\mid w\right\rangle +\left\langle w\mid v\right\rangle \]סימטריה רגילה תיתן כאן \(2\cdot\overline{\left\langle v\mid w\right\rangle }=2\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle \) ומכאן שנקבל סימטריה הרמיטית.
הגדרה 1.3. מכפלה פנימית מעל המרוכבים
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\MKcomplex\), פונקציה \(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\MKcomplex\) תקרא מכפלה פנימית או מכפלה הרמיטית1על שם שארל הרמיט. על \(V\) אם היא לכל \(v,w,u\in V\) ולכל \(\lambda\in\MKcomplex\) מתקיימות התכונות הבאות:
יהי \(V\) מ"ו מעל \(\MKcomplex\), פונקציה \(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\MKcomplex\) תקרא מכפלה פנימית או מכפלה הרמיטית1על שם שארל הרמיט. על \(V\) אם היא לכל \(v,w,u\in V\) ולכל \(\lambda\in\MKcomplex\) מתקיימות התכונות הבאות:
- ליניאריות למחצה2תכונה זו נקראת גם "אנטי-ליניארית" או "ליניארית-צמודה".:\[\begin{align*} \left\langle v\mid w+u\right\rangle & =\left\langle v\mid w\right\rangle +\left\langle v\mid u\right\rangle \\ \left\langle v\mid\lambda\cdot w\right\rangle & =\lambda\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle \\ \left\langle v+u\mid w\right\rangle & =\left\langle v\mid w\right\rangle +\left\langle u\mid w\right\rangle \\ \left\langle \lambda\cdot v\mid w\right\rangle & =\overline{\lambda}\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle \end{align*}\]
- סימטריה הרמיטית:\[ \left\langle w\mid v\right\rangle =\overline{\left\langle v\mid w\right\rangle } \]
- חיוביות בהחלט:\[ \left\langle v\mid v\right\rangle \geq0 \]\[ \left\langle v\mid v\right\rangle =0\Longleftrightarrow v=0_{V} \]
הגדרה 1.4. מרחב וקטורי מעל \(\MKcomplex\) שמוגדרת עליו מכפלה הרמיטית נקרא גם הוא מרחב מכפלה פנימית, ואם הוא נוצר סופית נקרא בנוסף מרחב הרמיטי או מרחב אוניטרי.
1.2 דוגמאות חשובות
יהי \(\MKfield\in\left\{ \MKreal,\MKcomplex\right\} \).
דוגמה 1.5. הדוגמה הקלאסית למכפלה פנימית מעל \(\MKreal\) היא פונקציית המכפלה הסקלרית \(\cdot:\MKfield^{n}\times\MKfield^{n}\rightarrow\MKfield\) המוגדרת ע"י (לכל \(x,y\in\MKfield^{n}\)):\[
x\cdot y=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{bmatrix}=\overline{x_{1}}\cdot y_{1}+\overline{x_{2}}\cdot y_{2}+\ldots+\overline{x_{n}}\cdot y_{n}
\]
- סימון:
- לכל \(A\in M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) נסמן ב-\(A^{*}\) את המטריצה המוגדרת ע"י \(\left[A^{*}\right]_{ij}:=\overline{\left[A^{t}\right]_{ij}}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(m\geq j\in\MKnatural\) (כלומר \(A^{*}\) היא \(A\) לאחר שחלוף והצמדת כל איבר ולכן אם \(\MKfield=\MKreal\) אז \(A^{*}=A^{t}\)), \(A^{*}\) נקראת הצמודה ההרמיטית של \(A\) ופעולה זו נקראת הצמדת מטריצה. מהליניאריות של פעולת ההצמדה במרוכבים נובעות כל התכונות של המטריצה המשוחלפת, לכל \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) ולכל מטריצה הפיכה \(P\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) מתקיים:\[\begin{align*} \left(A^{*}\right)^{*} & =A & \left(A\cdot B\right)^{*} & =B^{*}\cdot A^{*}\\ \left(A+B\right)^{*} & =A^{*}+B^{*} & \left(P^{-1}\right)^{*} & =\left(P^{*}\right)^{-1}\\ \left(\lambda\cdot A\right)^{*} & =\overline{\lambda}\cdot A^{*} \end{align*}\]
- \(\clubsuit\)
- כל ניתן להסתכל על המכפלה הסקלרית ככפל מטריצות - מתקיים \(x\cdot y=x^{*}\cdot y\) כאשר הכפל באגף שמאל הוא המכפלה הסקלרית והכפל באגף ימין הוא מכפלת מטריצת שורה במטריצת עמודה ואנו משתמשים באיזומורפיזם בין \(M_{1}\left(\MKfield\right)\) ל-\(\MKfield\).
- \(\clubsuit\)
- נניח לרגע ש-\(V_{i}=\MKfield^{m}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\), אם כן ראינו בקורס הקודם ש-\(V\) איזומורפי למרחב הווקטורי \(M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) (ניתן להסתכל על מטריצה ב-\(M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) כסדרה באורך \(n\) של וקטורים ב-\(\MKfield^{m}\)), וראו איזה פלא - ע"פ אותו איזומורפיזם המכפלה הפנימית של \(V\) זהה למכפלה הפנימית של \(M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) (\(\left\langle A\mid B\right\rangle :=\MKtrace\left(A^{*}\cdot B\right)\)).
- \(\clubsuit\)
- ראינו באינפי'2ש-\(R\left[a,b\right]\) (קבוצת הפונקציות האינטגרביליות רימן על \(\left[a,b\right]\)) היא מרחב וקטורי, הסיבה לדרישה שהפונקציות תהיינה רציפות דווקא היא החיוביות בהחלט של המכפלה הפנימית: אם נתיר גם לפונקציות לא רציפות להצטרף יהיו לנו וקטורים (פונקציות) שונים מאפס שהמכפלה הפנימית שלהם עם עצמם היא \(0\), לעומת זאת ראינו שפונקציית האפס היא הפונקציה הרציפה היחידה שמקיימת \(\intop_{a}^{b}f\left(x\right)\cdot f\left(x\right)dx=0\).
דוגמה 1.6. הפונקציה \(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle :M_{n}\left(\MKfield\right)\times M_{n}\left(\MKfield\right)\rightarrow\MKfield\) המוגדרת ע"י (לכל \(A,B\in M_{n}\left(\MKfield\right)\))3נזכיר ש-\(\MKtrace\left(M\right)\) היא העקבה (trace) של המטריצה \(M\), כלומר זהו סכום האיברים על האלכסון הראשי שלה.:\[
\left\langle A\mid B\right\rangle :=\MKtrace\left(A^{*}\cdot B\right)
\]היא מכפלה פנימית על המרחב הווקטורי \(M_{n}\left(\MKfield\right)\).
הגדרה 1.7. יהיו \(V_{1},V_{2},\ldots,V_{n}\) ממ"פ מעל ל-\(\MKfield\) (נסמן ב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle _{i}\) את המכפלה הפנימית של \(V_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)) - בקורס הקודם ראינו ש-\(V:=V_{1}\times V_{2}\times\ldots\times V_{n}\) הוא מרחב וקטורי מעל ל-\(\MKfield\) כשהחיבור הווקטורי והכפל בסקלר מוגדרים איבר איבר, הפונקציה \(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow\MKfield\) המוגדרת ע"י (לכל \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right),\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\right)\in V\)):\[
\left\langle \left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\mid\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}\right)\right\rangle :=\left\langle v_{1}\mid w_{1}\right\rangle _{1}+\left\langle v_{2}\mid w_{2}\right\rangle _{2}+\ldots+\left\langle v_{n}\mid w_{n}\right\rangle _{n}
\]היא מכפלה פנימית על המרחב הווקטורי \(V=V_{1}\times V_{2}\times\ldots\times V_{n}\).
דוגמה 1.8. יהי \(C\left[a,b\right]\) מרחב הפונקציות הרציפות על קטע סגור \(\left[a,b\right]\), הפונקציה \(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle :C\left[a,b\right]\times C\left[a,b\right]\rightarrow\MKreal\) המוגדרת ע"י (לכל \(f,g\in C\left[a,b\right]\)):\[
\left\langle f\mid g\right\rangle :=\intop_{a}^{b}f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)dx
\]היא מכפלה פנימית על המרחב הווקטורי \(C\left[a,b\right]\) מעל \(\MKreal\).
1.3 התחלה
יהי \(V\) מרחב מכפלה פנימית מעל לשדה \(\MKfield\) (מהגדרה \(\MKfield=\MKreal\) או ש-\(\MKfield=\MKcomplex\)), ונסמן ב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle \) את המכפלה הפנימית.
טענה 1.9. יהי \(v\in V\), אם \(\left\langle v\mid w\right\rangle =0\) לכל \(w\in V\) אז \(v=0_{V}\).
מסקנה 1.10. יהיו \(v_{1},v_{2}\in V\), אם מתקיים \(\left\langle v_{1}\mid w\right\rangle =\left\langle v_{2}\mid w\right\rangle \) לכל \(w\in V\) אז \(v_{1}=v_{2}\).
1.4 הטלות על וקטורים
טענה 1.11. יהי \(0_{V}\neq w\in V\), לכל \(v\in V\) קיים \(c\in\MKfield\) יחיד כך שמתקיים \(\left(v-c\cdot w\right)\perp w\), את אותו \(c\) ניתן לחשב ע"י:\[
c=\frac{\left\langle w\mid v\right\rangle }{\left\langle w\mid w\right\rangle }
\]
- \(\clubsuit\)
- נשים לב: \(v=\left(v-c\cdot w\right)+c\cdot w\), כלומר \(c\cdot w\) הוא הרכיב של \(v\) בכיוון של \(w\) ו-\(v-c\cdot w\) הוא הרכיב של \(v\) בכיוון המאונך על המישור שפורשים שניהם.
- \(\clubsuit\)
- זוהי אכן הטלה שכן לכל \(v\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} p_{w}\left(p_{w}\left(v\right)\right) & =\frac{\left\langle w\mid p_{w}\left(v\right)\right\rangle }{\left\langle w\mid w\right\rangle }\cdot w=\frac{\left\langle \begin{array}{c|c} w & \begin{alignedat}{1}\frac{\left\langle w\mid v\right\rangle }{\left\langle w\mid w\right\rangle }\cdot w\end{alignedat} \end{array}\right\rangle }{\left\langle w\mid w\right\rangle }\cdot w\\ & =\frac{\left\langle w\mid v\right\rangle }{\left\langle w\mid w\right\rangle }\cdot\frac{\left\langle w\mid w\right\rangle }{\left\langle w\mid w\right\rangle }\cdot w=\frac{\left\langle w\mid v\right\rangle }{\left\langle w\mid w\right\rangle }\cdot w=p_{w}\left(v\right) \end{align*}\]
הוכחה. לכל \(c\in\MKfield\) מתקיים:\[
0=\left\langle w\mid v-c\cdot w\right\rangle =\left\langle w\mid v\right\rangle -c\cdot\left\langle w\mid w\right\rangle \Longleftrightarrow c=\frac{\left\langle w\mid v\right\rangle }{\left\langle w\mid w\right\rangle }
\]
הגדרה 1.12. פונקציית ההטלה האורתוגונלית של וקטור \(0_{V}\neq w\in V\) היא הפונקציה \(p_{w}:V\rightarrow V\) המוגדרת ע"י (לכל \(v\in V\)):\[
p_{w}\left(v\right):=\frac{\left\langle w\mid v\right\rangle }{\left\langle w\mid w\right\rangle }\cdot w
\]
1.5 נורמה ומרחק
משפט 1.13. משפט הקוסינוסים
לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[ \left\Vert v+w\right\Vert ^{2}=\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}+2\cdot\MKre\left\langle v\mid w\right\rangle \]
לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[ \left\Vert v+w\right\Vert ^{2}=\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}+2\cdot\MKre\left\langle v\mid w\right\rangle \]
- \(\clubsuit\)
- בקובץ ההקדמה ראינו שעבור המכפלה הסקלרית מעל הממשיים מתקיים \(\left\langle v\mid w\right\rangle =\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert \cdot\cos\theta\) כאשר \(\theta\) היא הזווית שבין \(v\) ל-\(w\).
- \(\clubsuit\)
- למי שתהה לעצמו: המשפט והמסקנה האחרונים אינם מאפשרים להוכיח את משפט פיתגורס הגאומטרי ואת משפט הקוסינוסים הטריגונומטרי, הרי הגדרנו את הנורמה ע"פ משפט פיתגורס (\(\left\Vert v\right\Vert :=\sqrt{\left\langle v\mid v\right\rangle }\)).
- \(\clubsuit\)
- א"ש קושי-שוורץ הוא בעצם ההכללה של השוויון \(v\cdot w=\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert \cdot\cos\theta\) ב-\(\MKreal^{n}\) (כאשר \(\theta\) היא הזווית הקטנה בין \(v\) ל-\(w\))4וזאת מכיוון ש-\(\left|\cos\theta\right|\leq1\) ו-\(\theta>\frac{\pi}{2}\) (מה שגורר את \(\cos\theta<0\)) אם"ם \(v\cdot w<0\)., והוא מאפשר לנו להגדיר זווית בממ"פ כללי (לא עשינו זאת בכיתה):\[ \theta:=\arccos\left(\frac{\left\langle v\mid w\right\rangle }{\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert }\right) \]
- \(\clubsuit\)
- כמו שמשפט פיתגורס הוא משפט בגאומטריה אוקלידית גם חוק המקבילית הוא משפט כזה, נוכיח אותו במישור5נשתמש בסימונים \(v\) ו-\(w\) כווקטורים ב-\(\MKreal^{2}\) אך ההוכחה לא תעשה שום שימוש בתכונות של מרחבים וקטוריים אלא בטריגונומטריה בלבד.:
lyxscale 30איור 1: חוק המקביליתממשפט הקוסינוסים נובע שמתקיים (כאשר \(\theta\) היא הזווית הקטנה שבין \(v\) ו-\(w\)):\[\begin{align*} \left\Vert v-w\right\Vert ^{2} & =\left\Vert v\right\Vert +\left\Vert w\right\Vert {\color{red}-2\cdot\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert \cdot\cos\left(\theta\right)}\\ \left\Vert v+w\right\Vert ^{2} & =\left\Vert v\right\Vert +\left\Vert w\right\Vert -2\cdot\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert \cdot\cos\left(\pi-\theta\right)\\ & =\left\Vert v\right\Vert +\left\Vert w\right\Vert {\color{red}+2\cdot\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert \cdot\cos\left(\theta\right)} \end{align*}\]ולכן \(\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}+\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}=2\cdot\left(\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}\right)\). - \(\clubsuit\)
- הנורמה היא בעצם "האורך" של וקטור, עבור המכפלה הסקלרית על \(\MKreal^{3}\) זה ממש מתקיים גאומטרית (ראו הסבר מפורט בקובץ "הקדמה - מרחק, זווית והמכפלה הסקלרית"), עבור ממדים גבוהים יותר זה עדיין ממש מתקיים גאומטרית אולם קשה יותר לראות זאת, ועבור מכפלות פנימיות אחרות היא רק מקיימת את התכונות שהיינו מצפים מאורך לקיים (ראו בלמה שלעיל).
- \(\clubsuit\)
- אם כן הנורמה של וקטור היא המרחק שלו מווקטור האפס.
הוכחה. לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left\Vert v+w\right\Vert ^{2} & =\left(\sqrt{\left\langle v+w\mid v+w\right\rangle }\right)^{2}=\left\langle v+w\mid v+w\right\rangle \\
& =\left\langle v\mid v+w\right\rangle +\left\langle w\mid v+w\right\rangle \\
& =\left\langle v\mid v\right\rangle +{\color{red}\left\langle v\mid w\right\rangle +\overline{\left\langle v\mid w\right\rangle }}+\left\langle w\mid w\right\rangle \\
& =\left(\sqrt{\left\langle v\mid v\right\rangle }\right)^{2}+{\color{red}2\cdot\MKre\left\langle v\mid w\right\rangle }+\left(\sqrt{\left\langle w\mid w\right\rangle }\right)^{2}\\
& =\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}+2\cdot\MKre\left\langle v\mid w\right\rangle
\end{align*}\]
מסקנה 1.14. משפט פיתגורס
לכל \(v,w\in V\) מתקיימים שני הפסוקים הבאים:
לכל \(v,w\in V\) מתקיימים שני הפסוקים הבאים:
- אם \(v\perp w\) אז \(\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}=\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}\).
- אם \(\MKfield=\MKreal\) אז \(\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}=\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}\Longleftrightarrow v\perp w\).
מסקנה 1.15. יהי \(0_{V}\neq w\in V\), לכל \(v\in V\) מתקיים \(\left\Vert v\right\Vert ^{2}=\left\Vert v-p_{w}\left(v\right)\right\Vert ^{2}+\left\Vert p_{w}\left(v\right)\right\Vert ^{2}\).
משפט 1.16. אי-שוויון קושי-שוורץ6ערך בוויקיפדיה: הרמן שוורץ.
לכל \(v,w\in V\) מתקיים \(\left|\left\langle v\mid w\right\rangle \right|\leq\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert \) ומתקיים שוויון אם"ם \(v\) ו-\(w\) תלויים ליניארית.
לכל \(v,w\in V\) מתקיים \(\left|\left\langle v\mid w\right\rangle \right|\leq\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert \) ומתקיים שוויון אם"ם \(v\) ו-\(w\) תלויים ליניארית.
הוכחה. אם \(w=0_{V}\) אז המשפט טריוויאלי, אחרת ממסקנה קיים \(c\in\MKfield\) כך ש-\(\left\Vert v\right\Vert ^{2}=\left\Vert v-c\cdot w\right\Vert ^{2}+\left\Vert c\cdot w\right\Vert ^{2}\), \[
\Rightarrow\left\Vert c\cdot w\right\Vert ^{2}\leq\left\Vert v\right\Vert ^{2}
\]נשים לב שמתקיים \(\left\Vert c\cdot w\right\Vert ^{2}=\left\Vert v\right\Vert ^{2}\) אם"ם \(\left\Vert v-c\cdot w\right\Vert ^{2}=0\) וזה קורה אם"ם \(v-c\cdot w=0_{V}\), כלומר כאשר \(v\) ו-\(w\) תלויים ליניארית.\[\begin{align*}
\left\Vert c\cdot w\right\Vert ^{2} & =\left|c\right|^{2}\cdot\left\Vert w\right\Vert ^{2}=\left|\frac{\left\langle w\mid v\right\rangle }{\left\langle w\mid w\right\rangle }\right|^{2}\cdot\left\Vert w\right\Vert ^{2}\\
& =\left|\frac{\left\langle w\mid v\right\rangle }{\left\Vert w\right\Vert ^{2}}\right|^{2}\cdot\left\Vert w\right\Vert ^{2}=\frac{\left|\left\langle w\mid v\right\rangle \right|^{2}}{\left\Vert w\right\Vert ^{2}}
\end{align*}\]\[
\Rightarrow\frac{\left|\left\langle w\mid v\right\rangle \right|^{2}}{\left\Vert w\right\Vert ^{2}}\leq\left\Vert v\right\Vert ^{2}\Rightarrow\left|\left\langle w\mid v\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert v\right\Vert ^{2}\cdot\left\Vert w\right\Vert ^{2}
\]\[
\Rightarrow\left|\left\langle v\mid w\right\rangle \right|=\left|\left\langle w\mid v\right\rangle \right|\leq\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert
\]
משפט 1.17. חוק המקבילית
לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[ \left\Vert v+w\right\Vert ^{2}+\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}=2\cdot\left(\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}\right) \]
לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[ \left\Vert v+w\right\Vert ^{2}+\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}=2\cdot\left(\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}\right) \]
הוכחה. מתקיים:\[\begin{align*}
\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}+\left\Vert v-w\right\Vert ^{2} & =\left\langle v+w\mid v+w\right\rangle +\left\langle v-w\mid v-w\right\rangle \\
& =\left\langle v\mid v\right\rangle +{\color{red}\left\langle v\mid w\right\rangle }+{\color{blue}\left\langle w\mid v\right\rangle }+\left\langle w\mid w\right\rangle +\left\langle v\mid v\right\rangle +{\color{red}\left\langle v\mid-w\right\rangle }+{\color{blue}\left\langle -w\mid v\right\rangle }+{\color{green}\left\langle -w\mid-w\right\rangle }\\
& =\left\langle v\mid v\right\rangle +{\color{red}\left\langle v\mid w\right\rangle }+{\color{blue}\left\langle w\mid v\right\rangle }+\left\langle w\mid w\right\rangle +\left\langle v\mid v\right\rangle {\color{red}-\left\langle v\mid w\right\rangle }{\color{blue}-\left\langle w\mid v\right\rangle }+{\color{green}\left\langle w\mid w\right\rangle }\\
& =\left\langle v\mid v\right\rangle +\left\langle w\mid w\right\rangle +\left\langle v\mid v\right\rangle +\left\langle w\mid w\right\rangle =2\cdot\left(\left\langle v\mid v\right\rangle +\left\langle w\mid w\right\rangle \right)=2\cdot\left(\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}\right)
\end{align*}\]
משפט 1.18. אי-שוויון המשולש
לכל \(v,w\in V\) מתקיים \(\left\Vert v+w\right\Vert \leq\left\Vert v\right\Vert +\left\Vert w\right\Vert \) ומתקיים שוויון אם"ם קיים \(0\leq c\in\MKreal\) כך ש-\(v=c\cdot w\).
לכל \(v,w\in V\) מתקיים \(\left\Vert v+w\right\Vert \leq\left\Vert v\right\Vert +\left\Vert w\right\Vert \) ומתקיים שוויון אם"ם קיים \(0\leq c\in\MKreal\) כך ש-\(v=c\cdot w\).
הוכחה. יהיו \(v,w\in V\).\[\begin{align*}
\left\Vert v+w\right\Vert ^{2} & =\left\langle v+w\mid v+w\right\rangle =\left\langle v\mid v\right\rangle +\left\langle v\mid w\right\rangle +\left\langle w\mid v\right\rangle +\left\langle w\mid w\right\rangle \\
& =\left\langle v\mid v\right\rangle +\left\langle v\mid w\right\rangle +\overline{\left\langle v\mid w\right\rangle }+\left\langle w\mid w\right\rangle \\
& =\left\Vert v\right\Vert ^{2}+2\cdot\text{Re}\left\langle v\mid w\right\rangle +\left\Vert w\right\Vert ^{2}\\
& \leq\left\Vert v\right\Vert ^{2}+2\cdot\left|\left\langle v\mid w\right\rangle \right|+\left\Vert w\right\Vert ^{2}\\
& \leq\left\Vert v\right\Vert ^{2}+2\cdot\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert +\left\Vert w\right\Vert ^{2}\\
& =\left(\left\Vert v\right\Vert +\left\Vert w\right\Vert \right)^{2}
\end{align*}\]\[
\Rightarrow\left\Vert v+w\right\Vert \leq\left\Vert v\right\Vert +\left\Vert w\right\Vert
\]נשים לב שמתקיים שוויון אם"ם \(\text{Re}\left\langle v\mid w\right\rangle =\left|\left\langle v\mid w\right\rangle \right|=\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert \); השוויון הימני מתקיים אם"ם \(v\) ו-\(w\) תלויים ליניארית (א"ש קושי-שוורץ), והשמאלי מתקיים אם"ם \(0\leq\text{Re}\left\langle v\mid w\right\rangle \) וגם \(v\) ו-\(w\) תלויים ליניארית (שאז \(\left\langle v\mid w\right\rangle \in\MKreal\) ולכן \(\text{Re}\left\langle v\mid w\right\rangle =\left\langle v\mid w\right\rangle \)), וזה קורה אם"ם קיים \(0\leq c\in\MKreal\) כך ש-\(v=c\cdot w\).
למה 1.19. לכל \(v,w\in V\) ולכל \(c\in\MKfield\) מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
- חיוביות בהחלט - \(\sqrt{\left\langle v\mid v\right\rangle }\geq0\) ו-\(\sqrt{\left\langle v\mid v\right\rangle }=0\Longleftrightarrow v=0_{V}\)
- הומוגניות - \(\sqrt{\left\langle c\cdot v\mid c\cdot v\right\rangle }=\left|c\right|\cdot\sqrt{\left\langle v\mid v\right\rangle }\)
- א"ש המשולש7א"ש המשולש מופיע בסימונים אחרים בקובצי הטענות וההוכחות. - \(\sqrt{\left\langle v+w\mid v+w\right\rangle }\leq\sqrt{\left\langle v\mid v\right\rangle }+\sqrt{\left\langle w\mid w\right\rangle }\) ומתקיים שוויון אם"ם קיים \(0\leq c\in\MKreal\) כך ש-\(v=c\cdot w\).
הגדרה 1.20. לכל \(v\in V\) נגדיר את הנורמה של \(v\) ע"י \(\left|v\right|:=\left\Vert v\right\Vert :=\sqrt{\left\langle v\mid v\right\rangle }\).
למה 1.21. לכל \(v,w,u\in V\) מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים8אלו שלוש התכונות שהיינו מצפים שכל פונקציית מרחק תקיים.:
- סימטריה - \(\left\Vert v-w\right\Vert =\left\Vert w-v\right\Vert \)
- חיוביות בהחלט \(\left\Vert v-w\right\Vert \geq0\) ו-\(\left\Vert v-w\right\Vert =0\Longleftrightarrow v=w\)
- א"ש המשולש - \(\left\Vert v-w\right\Vert \leq\left\Vert v-u\right\Vert +\left\Vert u-w\right\Vert \)
הגדרה 1.22. מרחק
לכל \(v,w\in V\) נגדיר את המרחק בין \(v\) ל-\(w\) ע"י \(d\left(v,w\right):=\left\Vert v-w\right\Vert \).
לכל \(v,w\in V\) נגדיר את המרחק בין \(v\) ל-\(w\) ע"י \(d\left(v,w\right):=\left\Vert v-w\right\Vert \).
הגדרה 1.23. לכל שתי קבוצות \(\emptyset\neq S,T\subseteq V\) ולכל \(v\in V\) המרחק בין \(S\) ל-\(v\) מוגדר להיות \(d\left(v,S\right):=\inf\left\{ d\left(v,w\right)\mid w\in S\right\} \) והמרחק בין \(S\) ל-\(T\) מוגדר להיות \(d\left(S,T\right):=\inf\left\{ d\left(v,w\right)\mid v\in S,\ w\in T\right\} \).
1.6 ניצבות
הגדרה 1.24. יהיו \(v,w\in V\) תהיינה \(S,T\subseteq V\).
- נאמר ש-\(v\) ו-\(w\) מאונכים זה לזה ונסמן \(v\perp w\) אם מתקיים \(\left\langle v\mid w\right\rangle =0\).
- נאמר ש-\(v\) מאונך ל-\(S\) ונסמן \(v\perp S\) אם \(v\perp s\) לכל \(s\in S\).
- נאמר ש-\(S\) ו-\(T\) מאונכות זו לזו ונסמן \(S\perp T\) אם מתקיים \(s\perp t\) לכל \(s\in S\) ולכל \(t\in T\).
- \(\clubsuit\)
- נשים לב: לכל \(v\in V\) מתקיים \(\left\langle v\mid0_{V}\right\rangle =\left\langle v\mid0\cdot v\right\rangle =0\cdot\left\langle v\mid v\right\rangle =0\), וקטור האפס מאונך לכל וקטור אחר.
- \(\clubsuit\)
- מי שלמד פיזיקה בתיכון או למד וקטורים כחלק מ-5יחידות מתמטיקה אולי זוכר שב-\(\MKreal^{3}\)9המשוואה הזו מתקיימת גם עבור ממדים גבוהים יותר. לכל שני וקטורים \(v\) ו-\(w\) מתקיים \(v\cdot w=\left|v\right|\cdot\left|w\right|\cdot\cos\theta\) עבור המכפלה הסקלרית (באגף שמאל) כאשר \(\theta\) היא הזווית שבין \(v\) ל-\(w\) על המישור שפורשים שניהם ואז אכן מתקיים \(v\cdot w=0\) אם"ם \(\cos\theta=0\)10בהנחה שאף אחד מהם אינו וקטור האפס., כלומר כאשר \(\theta=\frac{\pi}{2}\) (הוכחה והסבר מפורט של כל זה מופיעה בקובץ "הקדמה - מרחק, זווית והמכפלה הסקלרית").
- \(\clubsuit\)
- מההערה הקודמת ניתן להבין שהמכפלה הפנימית בעצם בודקת עד כמה שני וקטורים מצביעים באותו כיוון (כאשר מושג הזווית והכיוון מוגדר ע"י המכפלה הפנימית).
- \(\clubsuit\)
- קבוצה/סדרה אורתונורמלית היא קבוצה/סדרה בת"ל.
- \(\clubsuit\)
- ניתן לראות בקלות יחסית שלכל בסיס \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) של \(\MKfield^{n}\) יש מכפלה פנימית המגדירה אותו כבסיס אורתונורמלי, השיטה היא כזו: נשים את וקטורי הבסיס בעמודות מטריצה \(U\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) ונגדיר את הפונקציה \(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle _{U}:\MKfield^{n}\times\MKfield^{n}\rightarrow\MKfield\) ע"י (לכל \(v,w\in\MKfield^{n}\)):\[
\left\langle v\mid w\right\rangle _{U}:=v^{*}\cdot\left(U^{-1}\right)^{*}\cdot U^{-1}\cdot w
\]כאשר אנו משתמשים באיזומורפיזם בין \(M_{1}\left(\MKfield\right)\) ל-\(\MKfield\).
מהגדרת כפל מטריצות מתקיימת תכונת הבי-ליניאריות / ליניאריות ברכיב הימני, הסימטריה נובעת מן התכונות של שחלוף מטריצות11לכל \(A\in M_{1}\left(\MKfield\right)\) מתקיים \(A^{t}=A\).:\[\begin{align*} \left\langle w\mid v\right\rangle _{U} & =w^{*}\cdot\left(U^{-1}\right)^{*}\cdot U^{-1}\cdot v\\ & =\left(w^{*}\cdot\left(U^{-1}\right)^{*}\cdot U^{-1}\cdot v\right)^{t}\\ & =v^{t}\cdot\left(U^{-1}\right)^{t}\cdot\left(\left(U^{-1}\right)^{*}\right)^{t}\cdot\left(w^{*}\right)^{t}\\ & =\overline{v^{*}\cdot\left(U^{-1}\right)^{*}\cdot U^{-1}\cdot w}=\overline{\left\langle v\mid w\right\rangle _{U}} \end{align*}\]כדי להוכיח את תכונת החיוביות בהחלט נחכה לשלב הבא.
נשים לב לכך שמתקיים:\[ U^{*}\cdot\left(U^{-1}\right)^{*}\cdot U^{-1}\cdot U=\left(U^{-1}\cdot U\right)^{*}\cdot\left(U^{-1}\cdot U\right)=I_{n} \]ולכן \(\left\langle u_{i}\mid u_{j}\right\rangle _{U}=\delta_{ij}\) לכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\), כלומר \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) הוא בסיס אורתונורמלי (בהנחה שאכן מדובר במכפלה פנימית).
כעת נסיים להוכיח שמדובר במכפלה פנימית, לשם כך עלינו להוכיח את תכונת החיוביות בהחלט, נציג את \(v\) כצר"ל של \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) - \(v=\sum_{i=1}^{n}z_{i}\cdot u_{i}\) ומכאן שמתקיים:\[\begin{align*} \left\langle v\mid v\right\rangle _{U} & =\left\langle \begin{array}{c|c} \begin{alignedat}{1}\sum_{i=1}^{n}z_{i}\cdot u_{i}\end{alignedat} & \sum_{j=1}^{n}z_{j}\cdot u_{j}\end{array}\right\rangle \\ & =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\overline{z_{i}}\cdot z_{j}\cdot\left\langle u_{i}\mid u_{j}\right\rangle \\ & =\sum_{i=1}^{n}\overline{z_{i}}\cdot z_{i}=\sum_{i=1}^{n}\left|z_{i}\right|^{2}\geq0 \end{align*}\]כמו כן ניתן לראות מהשורה הקודמת ש-\(\left\langle v\mid v\right\rangle =0\Longleftrightarrow v=0_{V}\). - \(\clubsuit\)
- ההערה הקודמת נותנת לנו אינטואיציה כיצד למצוא - בכל מ"ו נ"ס \(V\) מעל לשדה \(\MKfield\) (כאשר \(\MKfield=\MKreal\) או \(\MKfield=\MKcomplex\)), ולכל בסיס \(\MKclb\) של \(V\) - מכפלה פנימית על \(V\) כך ש-\(\MKclb\) הוא בסיס אורתונורמלי:
נגדיר את הפונקציה \(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle _{\MKclb}:V\times V\rightarrow\MKfield\) ע"י (לכל \(v,w\in V\)):\[ \left\langle v\mid w\right\rangle :=\left(\left[v\right]_{\MKclb}\right)^{*}\cdot\left(\left(\left[\MKid\right]_{\MKclb}\right)^{-1}\right)^{*}\cdot\left(\left[\MKid\right]_{\MKclb}\right)^{-1}\cdot\left[w\right]_{\MKclb} \]מההערה הקודמת נובע שזוהי אכן מכפלה פנימית, ומאותה סיבה שראינו לעיל \(\MKclb\) הוא בסיס אורתונורמלי ביחס אליה. - \(\clubsuit\)
- בקובץ הטענות אנחנו נראה (בהערה שאחרי זהות פרסבל) שלא רק שלכל בסיס קיימת מכפלה פנימית המגדירה כאורתונורמלי אלא שקיימת מכפלה יחידה כזו, הדבר מאפשר להגדיר יחס שקילות על בסיסים של מ"ו נ"ס מעל \(\MKreal\) או \(\MKcomplex\) - שני בסיסים יהיו שקולים זה לזה אם הם מוגדרים כאורתונורמליים ע"י אותה מכפלה פנימית.
- תזכורת:
- בהינתן תמ"וים \(W,U\subseteq V\) כך ש-\(V=W\oplus U\), ההטלה על \(W\) במקביל ל-\(U\) היא הפונקציה \(p:V\rightarrow V\) המוגדרת ע"י \(p\left(w+u\right):=w\) לכל \(w\in W\) ולכל \(u\in U\), כלומר \(p\) מפרקת כל וקטור \(v\in V\) לרכיביו ב-\(W\) וב-\(U\) ומחזירה את הרכיב שב-\(W\) בלבד.
מסקנה 1.25. תהא \(S\subseteq V\), הקבוצה \(\left\{ v\in V\mid\forall s\in S\ v\perp s\right\} \) היא תמ"ו של \(V\).
הגדרה 1.26. נסמן \(S^{\perp}:=\left\{ v\in V\mid\forall s\in S\ v\perp s\right\} \) ונקרא ל-\(S^{\perp}\) בשם המפתיע המרחב הניצב ל-\(S\)12ראינו גם את הביטוי העילג \(S\)-ניצב..
הגדרה 1.27. קבוצה/סדרה של וקטורים ב-\(V\) תקרא אורתוגונלית אם כל שני וקטורים בה מאונכים זה לזה.
למה 1.28. יהיו \(0_{V}\neq v,w\in V\) כך ש-\(v\perp w\), \(v\) ו-\(w\) אינם תלויים ליניארית.
מסקנה 1.29. קבוצה/סדרה אורתוגונלית שאינה מכילה את וקטור האפס היא קבוצה/סדרה בת"ל.
הגדרה 1.30. וקטור \(v\in V\) יקרא וקטור יחידה אם \(\left\Vert v\right\Vert =1\).
הגדרה 1.31. קבוצה/סדרה אורתוגונלית של וקטורים ב-\(V\) תקרא אורתונורמלית אם כל וקטור בה הוא וקטור יחידה.
נניח ש-\(V\) נ"ס.
טענה. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, מתקיים \(V=W\oplus W^{\perp}\).
הגדרה 1.32. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, \(W^{\perp}\) ייקרא המשלים האורתוגונלי של \(W\).
הגדרה 1.33. הטלה אורתוגונלית על תמ"ו
ההטלה האורתוגונלית על תמ"ו היא ההטלה עליו ביחס למשלים האורתוגונלי שלו, כלומר עבור תמ"ו \(W\subseteq V\) זוהי ההטלה \(p_{W}:V\rightarrow V\) (זהו הסימון המקובל) המוגדרת ע"י \(p\left(v\right):=w\) כאשר \(w\) הוא הווקטור היחיד ב-\(W\) שעבורו קיים \(w^{\perp}\in W^{\perp}\) המקיים \(v=w+w^{\perp}\).
ההטלה האורתוגונלית על תמ"ו היא ההטלה עליו ביחס למשלים האורתוגונלי שלו, כלומר עבור תמ"ו \(W\subseteq V\) זוהי ההטלה \(p_{W}:V\rightarrow V\) (זהו הסימון המקובל) המוגדרת ע"י \(p\left(v\right):=w\) כאשר \(w\) הוא הווקטור היחיד ב-\(W\) שעבורו קיים \(w^{\perp}\in W^{\perp}\) המקיים \(v=w+w^{\perp}\).
יהי \(V\) מרחב מכפלה פנימית מעל לשדה \(\MKfield\) (מהגדרה \(\MKfield\in\left\{ \MKreal,\MKcomplex\right\} \)).
1.7 ניצבות
טענה 1.34. וקטור האפס הוא הווקטור היחיד שניצב לעצמו והיחיד שניצב לכל וקטור אחר.
טענה 1.35. יהיו \(v\in V\) ו-\(S,T\subseteq V\), מתקיים:
- \(v\perp S\) אם"ם \(v\perp\MKspan S\).
- \(S\perp T\) אם"ם \(\MKspan S\perp\MKspan T\).
- אם \(S\subseteq T\) אז \(T^{\perp}\subseteq S^{\perp}\).
משפט 1.36. תהא \(U:=\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) סדרה אורתונורמלית של וקטורים ב-\(V\), מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
- \(U\) בת"ל.
- לכל \(v\in V\) ולכל \(n\geq r\in\MKnatural\) מתקיים:\[ \left(v-\sum_{i=1}^{r}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}\right)\perp\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{r}\right) \]
- אם \(V\) נ"ס ו-\(n=\dim V\) (כלומר \(U\) הוא בסיס סדור אורתונורמלי) אז לכל \(v\in V\) מתקיים:\[ v=\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle \cdot u_{i} \]
הוכחה. את הפסוק הראשון כבר ראינו בקובץ ההגדרות, הפסוק השני נובע מהשוויון (לכל \(r\geq j\in\MKnatural\)):\[\begin{align*}
\left\langle \begin{array}{c|c}
u_{j} & \begin{alignedat}{1}v-\sum_{i=1}^{r}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}\end{alignedat}
\end{array}\right\rangle & =\left\langle u_{j}\mid v\right\rangle -\sum_{i=1}^{r}\left(\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle \cdot\left\langle u_{j}\mid u_{i}\right\rangle \right)\\
& =\left\langle u_{j}\mid v\right\rangle -\sum_{i=1}^{r}\left(\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle \cdot\delta_{ij}\right)\\
& =\left\langle u_{j}\mid v\right\rangle -\left\langle u_{j}\mid v\right\rangle =0
\end{align*}\]והשלישי נובע מהעובדה שווקטור האפס הוא היחיד שמאונך לכל המרחב (טענה 1.10).
מסקנה 1.37. תהא \(\MKclb:=\left(b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\right)\) סדרה אורתוגונלית של וקטורים ב-\(V\) כך ש-\(b_{i}\neq0_{V}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\), מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
- \(\MKclb\) בת"ל.
- לכל \(v\in V\) ולכל \(n\geq r\in\MKnatural\) מתקיים:\[ \left(v-\sum_{i=1}^{r}\frac{\left\langle b_{i}\mid v\right\rangle }{\left\langle b_{i}\mid b_{i}\right\rangle }\cdot b_{i}\right)\perp\MKspan\left(b_{1},b_{2},\ldots,b_{r}\right) \]כלומר:\[ \left(v-\sum_{i=1}^{r}p_{b_{i}}\left(v\right)\right)\perp\MKspan\left(b_{1},b_{2},\ldots,b_{r}\right) \]
- אם \(V\) נ"ס ו-\(n=\dim V\) (כלומר \(\MKclb\) הוא בסיס סדור אורתוגונלי) אז לכל \(v\in V\) מתקיים:\[ v=\sum_{i=1}^{n}\frac{\left\langle b_{i}\mid v\right\rangle }{\left\langle b_{i}\mid b_{i}\right\rangle }\cdot b_{i}=\sum_{i=1}^{n}p_{b_{i}}\left(v\right) \]
הוכחה. את הפסוק הראשון ראינו כבר בקובץ ההגדרות, השני והשלישי נובעים מהעובדה שלכל \(v\in V\) ולכל \(n\geq i\in\MKnatural\) מתקיים13אין צורך להצמיד את \(\frac{1}{\left\Vert b_{i}\right\Vert }\) מפני שהוא מספר ממשי מהגדרתו.:\[
\left\langle \begin{array}{c|c}
\frac{1}{\left\Vert b_{i}\right\Vert }\cdot b_{i} & v\end{array}\right\rangle \cdot\frac{1}{\left\Vert b_{i}\right\Vert }\cdot b_{i}=\frac{1}{\left\Vert b_{i}\right\Vert }\cdot\left\langle b_{i}\mid v\right\rangle \cdot\frac{1}{\left\Vert b_{i}\right\Vert }\cdot b_{i}=\frac{\left\langle b_{i}\mid v\right\rangle }{\left\Vert b_{i}\right\Vert ^{2}}\cdot b_{i}=\frac{\left\langle b_{i}\mid v\right\rangle }{\left\langle b_{i}\mid b_{i}\right\rangle }\cdot b_{i}
\]והרי \(\frac{1}{\left\Vert b_{i}\right\Vert }\cdot b_{i}\) הוא וקטור יחידה.
תהליך גרם-שמידט (Gram–Schmidt)
תהא \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{m}\right)\) סדרת וקטורים בת"ל ב-\(V\), נרצה למצוא סדרה אורתונורמלית \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{m}\right)\) כך שלכל \(m\geq r\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\MKspan\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{r}\right)=\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{r}\right)
\]יהי \(m\geq r\in\MKnatural\), נסמן \(u_{1}:=\frac{1}{\left\Vert v_{1}\right\Vert }\cdot v_{1}\) (מהגדרה \(v_{1}\neq0_{V}\) ולכן \(\left\Vert v_{1}\right\Vert \neq0\)) ו-\(k:=2\).כל עוד \(k\leq r\):- נסמן:\[\begin{align*}
v_{k}' & :=v_{k}-\sum_{i=1}^{k-1}\left\langle v_{k}\mid u_{i}\right\rangle \cdot u_{i}\\
u_{k} & :=\frac{1}{\left\Vert v_{k}'\right\Vert }\cdot v_{k}'
\end{align*}\]כעת \(v_{k}'\perp u_{i}\) לכל \(k-1\geq i\in\MKnatural\) ולכן \(u_{k}\) הוא וקטור יחידה המאונך ל-\(u_{i}\) לכל \(k-1\geq i\in\MKnatural\) ולכן \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right)\) היא סדרה אורתונורמלית.
בנוסף, מכיוון שבשלב הקודם התקיים \(\MKspan\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k-1}\right)=\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k-1}\right)\) ו-\(u_{k}\) הוא צר"ל של \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right)\) שאינו צר"ל של \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k-1}\right)\) נדע שמתקיים \(\MKspan\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right)=\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right)\).- \(\clubsuit\)
- אם אנחנו רוצים רק סדרה אורתוגונלית שאינה בהכרח אורתונורמלית ניתן לוותר על הנרמול להמשיך עם \(v_{k}'\).
- נסמן \(k:=k+1\) ונעבור לשלב הבא בלולאה.
הוכחה. למעשה ההסבר שניתן בגוף האלגוריתם אמור להספיק, מי שמתעקש לקבל הסבר פורמלי מלא מתבקש להמשיך לקרוא.
ע"פ המשפט הקודם (1.12), בכל שלב של הלולאה מתקיים \(v_{k}'\perp\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k-1}\right)\) ולכן גם \(u_{k}\perp\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k-1}\right)\) ומכאן ש-\(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right)\) היא סדרה אורתונורמלית ובפרט בת"ל, אך מהגדרה מתקיים:\[\begin{align*} \MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right) & \subseteq\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k-1},v_{k}\right)\subseteq\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots u_{k-2},v_{k-1},v_{k}\right)\\ & \subseteq\ldots\subseteq\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots u_{i},v_{i+1},v_{i+2},\ldots,v_{k}\right)\subseteq\MKspan\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right) \end{align*}\]ומכיוון ש-\(\dim\left(\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right)\right)=k=\dim\left(\MKspan\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right)\right)\)
נדע שמתקיים \(\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right)=\MKspan\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right)\).
ע"פ המשפט הקודם (1.12), בכל שלב של הלולאה מתקיים \(v_{k}'\perp\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k-1}\right)\) ולכן גם \(u_{k}\perp\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k-1}\right)\) ומכאן ש-\(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right)\) היא סדרה אורתונורמלית ובפרט בת"ל, אך מהגדרה מתקיים:\[\begin{align*} \MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right) & \subseteq\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k-1},v_{k}\right)\subseteq\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots u_{k-2},v_{k-1},v_{k}\right)\\ & \subseteq\ldots\subseteq\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots u_{i},v_{i+1},v_{i+2},\ldots,v_{k}\right)\subseteq\MKspan\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right) \end{align*}\]ומכיוון ש-\(\dim\left(\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right)\right)=k=\dim\left(\MKspan\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right)\right)\)
נדע שמתקיים \(\MKspan\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right)=\MKspan\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right)\).
מסקנה 1.38. לכל ממ"פ נ"ס (אוקלידי או הרמיטי) יש בסיס אורתונורמלי.
משפט 1.39. נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) בסיס אורתונורמלי של \(V\), לכל \(v,w\in V\) ולכל \(n\geq m\in\MKnatural\) מתקיימים שלושת הפסוקים הבאים:
- זהותפרסבל14ערך בוויקיפדיה: מארק אנטואן פרסבל.:\[ \left\langle v\mid w\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\overline{\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle }\cdot\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\left\langle v\mid u_{i}\right\rangle \cdot\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle \]
- זהותבסל (Bessel)15ערך בוויקיפדיה: פרידריך בסל.:\[ \sum_{i=1}^{n}\left|\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert v\right\Vert ^{2} \]
- א"ש בסל:\[ \sum_{i=1}^{m}\left|\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert v\right\Vert ^{2} \]
הוכחה. יהיו \(v,w\in V\), ממשפט 1.12 נובע שמתקיים:\[\begin{align*}
\left\langle v\mid w\right\rangle & =\left\langle \begin{array}{c|c}
\begin{alignedat}{1}\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}\end{alignedat}
& \begin{alignedat}{1}\sum_{j=1}^{n}\left\langle u_{j}\mid w\right\rangle \cdot u_{j}\end{alignedat}
\end{array}\right\rangle \\
& =\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}\overline{\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle }\cdot\left\langle u_{j}\mid w\right\rangle \cdot\left\langle u_{i}\mid u_{j}\right\rangle \right)\\
& =\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}\overline{\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle }\cdot\left\langle u_{j}\mid w\right\rangle \cdot\delta_{ij}\right)\\
& =\sum_{i=1}^{n}\overline{\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle }\cdot\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\left\langle v\mid u_{i}\right\rangle \cdot\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle
\end{align*}\]אם כן הוכחנו את זהות פרסבל.כדי להוכיח את זהות בסל נזכור ש-\(\left|z\right|^{2}=\overline{z}\cdot z\) לכל \(z\in\MKfield\) (נזכור ש-\(\MKfield=\MKreal\) או ש-\(\MKfield=\MKcomplex\)) ולכן מזהות פרסבל נובע שמתקיים:\[
\sum_{i=1}^{n}\left|\left\langle v\mid u_{i}\right\rangle \right|^{2}=\sum_{i=1}^{n}\overline{\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle }\cdot\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle =\left\langle v\mid v\right\rangle =\left\Vert v\right\Vert ^{2}
\]א"ש בסל נובע מהעובדה שכל המחוברים באגף שמאל הם ממשיים וחיוביים.
- \(\clubsuit\)
- הפסוק השלישי במשפט 1.12והראשון במשפט זה (זהות בסל) מראים לנו שאם \(V\) נ"ס אז לכל בסיס של \(V\) קיימת מכפלה פנימית יחידה כך שאותו בסיס יהיה אורתונורמלי:
נניח ש-\(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) הוא בסיס כלשהו של \(V\) ואנו רוצים להגדיר מכפלה פנימית \(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle :V\times V\rightarrow V\) כך שהוא בסיס אורתונורמלי, יהיו \(v,w\in V\) ויהיו \(a_{1},a_{2},\ldots,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[ v=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\cdot u_{i},\ w=\sum_{i=1}^{n}b_{i}\cdot u_{i} \]ממשפט 1.12 נובע שאם קיימת מכפלה פנימית כזו אז היא צריכה לקיים \(\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle =a_{i}\) ו-\(\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle =b_{i}\) ואז מזהות פרסבל נובע שהיא מוכרחת לקיים גם:\[ \left\langle v\mid w\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\overline{\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle }\cdot\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}\overline{a_{i}}\cdot b_{i} \]ולכן אם היא קיימת אז היא יחידה, מצד שני ברור שזוהי מכפלה פנימית מאותן סיבות שהמכפלה הסקלרית היא מכפלה פנימית.
מסקנה 1.40. נניח ש-\(V\) נ"ס, לכל בסיס אורתונורמלי \(U\) של \(V\) ולכל \(v,w\in V\) מתקיים16הכפל באגף ימין הוא המכפלה הסקלרית.:\[
\left\langle v\mid w\right\rangle =\left[v\right]_{U}\cdot\left[w\right]_{U}
\]
1.8 הטלות על תתי-מרחבים וקטוריים
נניח ש-\(V\) נ"ס.
טענה 1.41. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, מתקיים \(V=W\oplus W^{\perp}\).
הוכחה. ניקח בסיס של \(W\), נרחיב אותו לבסיס של \(V\) ונפעיל על הבסיס המורחב את אלגוריתם גרם-שמידט, אם כן קיבלנו סדרה אורתונורמלית \(\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k};u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) כך ש-\(W=\MKspan\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k}\right)\)
ו-\(V=\MKspan\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k},u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\); נשים לב לכך שמהגדרה מתקיים
\(V=\MKspan\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k}\right)\oplus\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) ו-\(\MKspan\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k}\right)\perp\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\)
ומכאן ש-\(\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\subseteq W^{\perp}\), מצד שני לכל \(v\in W^{\perp}\) מתקיים (משפט 1.12):\[ v=\sum_{i=1}^{k}\left\langle w_{i}\mid v\right\rangle \cdot w_{i}+\sum_{j=k+1}^{n}\left\langle u_{j}\mid v\right\rangle \cdot u_{j}=\sum_{j=k+1}^{n}\left\langle u_{j}\mid v\right\rangle \cdot u_{j}\in\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right) \]ולכן \(\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\supseteq W^{\perp}\), כלומר \(\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)=W^{\perp}\)
ו-\(V=\MKspan\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k}\right)\oplus\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)=W\oplus W^{\perp}\).
ו-\(V=\MKspan\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k},u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\); נשים לב לכך שמהגדרה מתקיים
\(V=\MKspan\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k}\right)\oplus\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) ו-\(\MKspan\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k}\right)\perp\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\)
ומכאן ש-\(\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\subseteq W^{\perp}\), מצד שני לכל \(v\in W^{\perp}\) מתקיים (משפט 1.12):\[ v=\sum_{i=1}^{k}\left\langle w_{i}\mid v\right\rangle \cdot w_{i}+\sum_{j=k+1}^{n}\left\langle u_{j}\mid v\right\rangle \cdot u_{j}=\sum_{j=k+1}^{n}\left\langle u_{j}\mid v\right\rangle \cdot u_{j}\in\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right) \]ולכן \(\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\supseteq W^{\perp}\), כלומר \(\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)=W^{\perp}\)
ו-\(V=\MKspan\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k}\right)\oplus\MKspan\left(u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)=W\oplus W^{\perp}\).
מסקנה 1.42. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, מתקיים \(\left(W^{\perp}\right)^{\perp}=W\).
משפט 1.43. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, בהינתן בסיס אורתוגונלי \(\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k}\right)\) של \(W\) מתקיים (לכל \(v\in V\)):\[
p_{W}\left(v\right)=\sum_{i=1}^{k}\frac{\left\langle w_{i}\mid v\right\rangle }{\left\langle w_{i}\mid w_{i}\right\rangle }\cdot w_{i}=\sum_{i=1}^{k}p_{w_{i}}\left(v\right)
\]
- \(\clubsuit\)
- אם \(\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k}\right)\) אורתונורמלי נקבל:\[ p_{W}\left(v\right)=\sum_{i=1}^{k}\left\langle w_{i}\mid v\right\rangle \cdot w_{i} \]
הוכחה. יהי \(v\in V\) ויהי \(\left(u_{k+1},u_{k+2},\ldots,u_{n}\right)\) בסיס אורתוגונלי של \(W^{\perp}\), אם כן \(\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{k};u_{k+1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) הוא בסיס אורתוגונלי של \(V\) ולכן מתקיים:\[\begin{align*}
p_{W}\left(v\right) & =p_{W}\left(\sum_{i=1}^{k}\frac{\left\langle w_{i}\mid v\right\rangle }{\left\langle w_{i}\mid w_{i}\right\rangle }\cdot w_{i}+\sum_{j=k+1}^{n}\frac{\left\langle u_{j}\mid v\right\rangle }{\left\langle u_{j}\mid u_{j}\right\rangle }\cdot u_{j}\right)\\
& =\sum_{i=1}^{k}\frac{\left\langle w_{i}\mid v\right\rangle }{\left\langle w_{i}\mid w_{i}\right\rangle }\cdot p_{W}\left(w_{i}\right)+\sum_{j=k+1}^{n}\frac{\left\langle u_{j}\mid v\right\rangle }{\left\langle u_{j}\mid u_{j}\right\rangle }\cdot p_{W}\left(u_{j}\right)\\
& =\sum_{i=1}^{k}\frac{\left\langle w_{i}\mid v\right\rangle }{\left\langle w_{i}\mid w_{i}\right\rangle }\cdot w_{i}+\sum_{j=k+1}^{n}\frac{\left\langle u_{j}\mid v\right\rangle }{\left\langle u_{j}\mid u_{j}\right\rangle }\cdot0_{V}=\sum_{i=1}^{k}\frac{\left\langle w_{i}\mid v\right\rangle }{\left\langle w_{i}\mid w_{i}\right\rangle }\cdot w_{i}
\end{align*}\]
משפט 1.44. יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו, לכל \(v\in V\) מתקיים \(d\left(v,W\right)=\left\Vert p_{W^{\perp}}\left(v\right)\right\Vert \).
הוכחה. יהי \(v\in V\), לכל \(w\in W\) מתקיים:\[\begin{align*}
\left\Vert v-w\right\Vert ^{2} & =\left\Vert p_{W^{\perp}}\left(v\right)+p_{W}\left(v\right)-w\right\Vert ^{2}=\left\langle p_{W^{\perp}}\left(v\right)+p_{W}\left(v\right)-w\mid p_{W^{\perp}}\left(v\right)+p_{W}\left(v\right)-w\right\rangle \\
& =\left\langle p_{W^{\perp}}\left(v\right)\mid p_{W^{\perp}}\left(v\right)\right\rangle +{\color{red}\left\langle p_{W^{\perp}}\left(v\right)\mid p_{W}\left(v\right)-w\right\rangle +\left\langle p_{W}\left(v\right)-w\mid p_{W^{\perp}}\left(v\right)\right\rangle }+\left\langle p_{W}\left(v\right)-w\mid p_{W}\left(v\right)-w\right\rangle \\
& =\left\langle p_{W^{\perp}}\left(v\right)\mid p_{W^{\perp}}\left(v\right)\right\rangle +{\color{red}0}+\left\langle p_{W}\left(v\right)-w\mid p_{W}\left(v\right)-w\right\rangle \geq\left\langle p_{W^{\perp}}\left(v\right)\mid p_{W^{\perp}}\left(v\right)\right\rangle =\left\Vert p_{W^{\perp}}\left(v\right)\right\Vert ^{2}
\end{align*}\]כלומר לכל \(w\in W\) מתקיים \(d\left(v,w\right)=\left\Vert v-w\right\Vert \geq\left\Vert p_{W^{\perp}}\left(v\right)\right\Vert \) ולכן \(d\left(v,W\right)=\inf\left\{ d\left(v,w\right)\mid w\in W\right\} \geq\left\Vert p_{W^{\perp}}\left(v\right)\right\Vert \), מצד שני \(d\left(v,p_{W}\left(v\right)\right)=\left\Vert v-p_{W}\left(v\right)\right\Vert =\left\Vert p_{W^{\perp}}\left(v\right)\right\Vert \) ומכאן ש-\(d\left(v,W\right)=\inf\left\{ d\left(v,w\right)\mid w\in W\right\} =\left\Vert p_{W^{\perp}}\left(v\right)\right\Vert \) (שהרי \(p_{W}\left(v\right)\in W\)).
\(\:\)
2 מרחבים דואליים וההעתקה הצמודה
2.1 הגדרות
- \(\clubsuit\)
- אנחנו לוקחים כעת הפסקה מנושא המכפלה הפנימית ועוברים לעסוק במרחב הדואלי של מרחב וקטורי - שהוא מרחב ההעתקות הליניאריות מהמרחב לשדה, בהמשך נראה כיצד נושא מתקשר למרחבי מכפלה פנימית.
רוב מה שנכתב בפרק זה לא היה חלק מהקורס כשלמדתי אותו - החלק הפשוט של מרחבים דואליים נלמד אצל ערן נבו בקורס הקודם ואת השאר מצאתי ברשת או גיליתי בעצמי, למרות זאת ראיתי לנכון להביא את הפרק במלואו מפני שהוא ענה על שאלה שהציקה לי במשך יותר משנה: מהי המשמעות הגאומטרית של שחלוף מטריצה??? - תזכורת:
- בקורס הקודם הגדרנו את \(\MKhom\left(V,W\right)\) להיות מרחב ההעתקות הליניאריות מ-\(V\) ל-\(W\) (כאשר \(V\) ו-\(W\) הם מרחבים וקטוריים מעל לשדה \(\MKfield\)), וראינו שאם \(V\) ו-\(W\) נ"ס אז מתקיים:\[
\dim\left(\MKhom\left(V,W\right)\right)=\dim\left(V\right)\cdot\dim\left(W\right)
\]שכן הממד של מרחב ההעתקות הוא בדיוק הממד של מרחב המטריצות המתאים למטריצות המייצגות של ההעתקות הללו.
נזכיר גם שכל שדה הוא מ"ו מעל עצמו כאשר החיבור והכפל של השדה משמשים כחיבור וקטורי וכפל בסקלר. - \(\clubsuit\)
- נשים לב שאם \(V\) נ"ס אז \(\dim V^{\ast}=\dim V\).
- סימון:
- המרחב הדואלי של המרחב הדואלי של \(V\) (\(\left(V^{*}\right)^{*}=\MKhom\left(V^{*},\MKfield\right)\)) מסומן ב-\(V^{**}\) וכן הלאה (\(V^{***}:=\left(V^{**}\right)^{*}\)), בהמשך אנחנו נראה שאין שום עניין להמשיך מעבר ל-\(V^{**}\).
- \(\clubsuit\)
- \(\MKclb^{*}\) הוא אכן בסיס של \(V^{*}\) שכן מדובר בסדרה בת"ל בגודל הממד של \(V\) שהוא הממד של \(V^{*}\).
- \(\clubsuit\)
- כבר ראינו שהעתקת בסיס במרחב אחד לבסיס של מרחב אחר כאשר שניהם מאותו ממד היא איזומורפיזם בין שני המרחבים הללו, אם כן \(V^{*}\) איזומורפי ל-\(V\) אך מכיוון שהאיזומורפיזם תלוי בבחירת הבסיס כל איזומורפיזם כזה אינו טבעי, בהמשך נראה שבנוכחות מכפלה פנימית קיים איזומורפיזם טבעי בין מרחב מכפלה פנימית למרחב ההעתקות ממנו לשדה.
- סימון:
- נניח ש-\(W\) הוא תמ"ו של \(V\) (\(W\subseteq V\)), נסמן \(W^{0}:=\left\{ f\in V^{*}\mid f\left(W\right)=\left\{ 0\right\} \right\} \), כלומר \(W^{0}\) היא קבוצת כל הפונקציונלים שמתאפסים על \(W\) (נקראת גם המאפס של \(W\)).
- סימון:
- לכל \(v\in V\) נגדיר את ההעתקה הליניארית \(f_{v}:V^{*}\rightarrow\MKfield\) ע"י \(f_{v}\left(T\right):=T\left(v\right)\) לכל \(T\in V^{*}\) (מהגדרה \(f_{v}\in V^{**}\)).
- \(\clubsuit\)
- הליניאריות של \(f_{v}\) נובעת מהליניאריות של ההעתקות ב-\(V^{*}\), לכל \(T_{1},T_{2}\in V^{*}\) ולכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים:\[\begin{align*} f_{v}\left(T_{1}+T_{2}\right) & =\left(T_{1}+T_{2}\right)\left(v\right)=T_{1}\left(v\right)+T_{2}\left(v\right)=f_{v}\left(T_{1}\right)+f_{v}\left(T_{2}\right)\\ f_{v}\left(\lambda\cdot T_{1}\right) & =\left(\lambda\cdot T\right)\left(v\right)=\lambda\cdot T\left(v\right)=\lambda\cdot f_{v}\left(T_{1}\right) \end{align*}\]
- \(\clubsuit\)
- נשים לב לכך ש-\(f_{v}\in V^{**}\) - אם כן מצאנו דרך קלה "לייצר" איברים ב-\(V^{**}\), במשפט הבא נראה שאם \(V\) נ"ס אז כל האיברים ב-\(V^{**}\) ניתנים להצגה בצורה זו.
- \(\clubsuit\)
- מבלבל למדי, נכון? שימו לב: \(\varphi\) לוקחת וקטור ב-\(V\) וצריכה להחזיר וקטור ב-\(V^{**}\), אבל וקטור ב-\(V^{**}\) הוא העתקה ליניארית המקבלת העתקה ליניארית ב-\(V^{*}\) ומחזירה סקלר ב-\(\MKfield\), כעת נזכור שגם וקטור ב-\(V^{*}\) הוא העתקה ליניארית המקבלת וקטור ב-\(V\) ומחזירה סקלר ב-\(\MKfield\) - לכן טבעי מאד ש-\(\varphi\) תחזיר העתקה ליניארית ב-\(V^{**}\) שפעולתה היא להציב את הווקטור המתקבל מ-\(V\) בכל ה"ל ב-\(V^{*}\).
כן, אני מודע לכך שגם ההסבר המפורט יותר מבלבל, אין מה לעשות, קחו נשימה ארוכה וקראו את הכל לאט לאט. - \(\clubsuit\)
- המשפט מראה שאם \(V\) נ"ס אז ישנו איזומורפיזם טבעי בין \(V\) ל-\(V^{**}\), מהמשפט נובע גם שאין שום טעם לדבר על \(V^{***}\) (וכן הלאה) שכן ישנו איזומורפיזם טבעי בין \(V^{*}\) ל-\(V^{***}\).
- \(\clubsuit\)
- \(f\circ T\) הוא אכן פונקציונל ב-\(V^{*}\): התחום שלו הוא \(V\) שהרי זהו התחום של \(T\) והטווח שלו הוא \(\MKfield\) משום שזהו הטווח של \(f\) (כמובן שהוא העתקה ליניארית).
- סימון:
- ההעתקה הצמודה של ההעתקה הצמודה של \(T\) (\(\left(T^{*}\right)^{*}\)) מסומנת ב-\(T^{**}\) וכן הלאה (\(T^{***}:=\left(T^{**}\right)^{*}\)), אך כפי שראינו אין שום עניין מעבר ל-\(V^{**}\) ולכן גם אין שום עניין לאחר \(T^{**}\).
- \(\clubsuit\)
- מהגדרה התחום של \(T^{**}\) הוא \(V^{**}\), הטווח שלו הוא \(W^{**}\) והוא מוגדר ע"י \(T^{**}\left(f\right):=f\circ T^{*}\) לכל \(f\in V^{**}\), טבעי מאד לצפות לכך שאם \(V\) ו-\(W\) נ"ס אז ע"פ אותו איזומורפיזם בין \(V\) ל-\(V^{**}\) ובין \(W\) ל-\(W^{**}\) (העתקת ההצבה שבמשפט לעיל) גם \(T\) ו-\(T^{**}\) יהיו איזומורפיים זה לזה, ציפייה זו אכן תתממש ונראה אותה בקובץ הטענות.
- סימון:
- לכל מרחב מכפלה פנימית \(V\) ולכל \(v\in V\) נסמן ב-\(l_{v}\) את ההעתקה \(l_{v}:V\rightarrow\MKfield\) המוגדרת ע"י \(l_{v}\left(w\right):=\left\langle v\mid w\right\rangle \) לכל \(w\in V\) (מהגדרה \(l_{v}\in V^{*}\)).
- \(\clubsuit\)
- זה לא כל כך מפתיע כשזוכרים שפונקציונל \(f:\MKfield^{n}\rightarrow\MKfield\) הוא בעצם כפל במטריצה מגודל \(1\times n\) (וקטור שורה) וכפל מטריצות כזה שקול לחלוטין למכפלה הסקלרית עם המשוחלפת שלה (כווקטור עמודה), כלומר כל פונקציונל הוא בעצם הטלה על הכיוון של וקטור מסוים (כדי לקבל איבר ב-\(\MKfield\)) ואז כפל בגודל של אותו וקטור (ראו בקובץ ההקדמה).
- סימון:
- נניח ש-\(V\) נ"ס ולכל \(l\in V^{*}\) נסמן ב-\(v_{l}\) את אותו וקטור יחיד \(v\in V\) המקיים \(l=l_{v}\).
- \(\clubsuit\)
- זהו איזומורפיזם / אנטי-איזומורפיזם טבעי מאד, ממש כשם שהאיזומורפיזם בין \(V\) ל-\(V^{**}\) היה טבעי, אך מכיוון שהוא טבעי רק אחרי הגדרת מכפלה פנימית על \(V\) אין בו שום דבר קנוני משום שכפי שראינו כבר הגדרת מכפלה פנימית שקולה לבחירת בסיס - לכל בסיס של \(V\) קיימת מכפלה פנימית המגדירה אותו כאורתונורמלי.
- \(\clubsuit\)
- כזכור הגדרנו את ההעתקה הצמודה של העתקה ליניארית \(T:V\rightarrow W\) להיות הפונקציה \(T^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*}\) המוגדרת ע"י \(T^{*}\left(f\right):=f\circ T\), \(\varphi\) הנ"ל נותנת לנו מוטיבציה להגדיר את ההעתקה הצמודה באופן שונה מעט כאשר אנו עוסקים במרחבי מכפלה פנימית: במקום שהתחום והטווח של \(T^{*}\) יהיו \(W^{*}\) ו-\(V^{*}\) טבעי להגדיר את \(T^{*}\) מ-\(W\) ל-\(V\) כאשר \(T^{*}\left(w\right)\) יהיה הווקטור היחיד ב-\(V\) שעבורו יתקיים \(l_{v}=l_{w}\circ T\).
- \(\clubsuit\)
- כלומר כדי לדעת מיהו \(T^{*}\left(w\right)\) עלינו לשאול את עצמנו איזה וקטור ב-\(V\) יקיים שהמכפלה הפנימית איתו (ב-\(V\)) תהיה שווה למכפלה הפנימית עם \(w\) (ב-\(W\)) - כשלפני ביצוע המכפלה הפנימית עם \(w\) אנו מפעילים את \(T\) כדי לקבל וקטורים ב-\(W\).
- \(\clubsuit\)
- שימו לב: העובדה שאם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז \(V\) אנטי-איזומורפי ל-\(V^{*}\) אומרת ש-\(T^{*}\) כפי שהוגדר על ממ"פ אינו איזומורפי ל-\(T^{*}\) כפי שהוגדר מעל מרחבים וקטוריים כלליים אלא אנטי-איזומורפי אליו, כלומר מתקיים \(\left(\lambda\cdot T\right)^{*}=\overline{\lambda}\cdot T^{*}\).
- \(\clubsuit\)
- אנחנו לוקחים כעת הפסקה מנושא המכפלה הפנימית ועוברים לעסוק במרחב הדואלי של מרחב וקטורי - שהוא מרחב ההעתקות הליניאריות מהמרחב לשדה, בהמשך נראה כיצד נושא מתקשר למרחבי מכפלה פנימית.
רוב מה שנכתב בפרק זה לא היה חלק מהקורס כשלמדתי אותו - החלק הפשוט של מרחבים דואליים נלמד אצל ערן נבו בקורס הקודם ואת השאר מצאתי ברשת או גיליתי בעצמי, למרות זאת ראיתי לנכון להביא את הפרק במלואו מפני שהוא ענה על שאלה שהציקה לי במשך יותר משנה: מהי המשמעות הגאומטרית של שיחלוף מטריצה???
יהיו \(V\) ו-\(W\) מרחבים וקטוריים מעל לשדה \(\MKfield\).
הגדרה 2.1. המרחב הדואלי של \(V\) מוגדר ע"י \(V^{\ast}:=\MKhom\left(V,\MKfield\right)\), איברי \(V^{\ast}\) נקראים פונקציונלים.
הגדרה 2.2. נניח ש-\(V\) נ"ס יהי \(\MKclb:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) בסיס של \(V\), הבסיס הדואלי (של \(V^{*}\)) ביחס ל-\(\MKclb\) הוא \(\MKclb^{*}:=\left(v_{1}^{*},v_{2}^{*},\ldots,v_{n}^{*}\right)\) כאשר, לכל \(n\geq i\in\MKnatural\), \(v_{i}^{*}\) היא ההעתקה ליניארית המוגדרת ע"י (לכל \(n\geq j\in\MKnatural\)):\[
v_{i}^{*}\left(v_{j}\right)=\delta_{ij}=\begin{cases}
1 & i=j\\
0 & i\neq j
\end{cases}
\]
משפט. נניח ש-\(V\) נ"ס ותהא \(\varphi:V\rightarrow V^{**}\) העתקת ההצבה המוגדרת ע"י \(\varphi\left(v\right):=f_{v}\) (לכל \(v\in V\)), \(\varphi\) היא איזומורפיזם בין \(V\) ל-\(V^{**}\).
הגדרה 2.3. תהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית, ההעתקה הצמודה (הרמיטית) של \(T\) (נקראת גם האופרטור הצמוד של \(T\) אם \(V=W\)) היא ההעתקה הליניארית \(T^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*}\) המוגדרת ע"י (לכל \(f\in W^{*}\)):\[
T^{*}\left(f\right):=f\circ T
\]
נניח ש-\(V\) ו-\(W\) הם מרחבי מכפלה פנימית (\(\MKfield\in\left\{ \MKreal,\MKcomplex\right\} \)) ונסמן ב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle _{V}\) וב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle _{W}\) את המכפלות הפנימיות שלהם17את המכפלה הפנימית של \(V\) נסמן גם ב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle \) כשנעסוק בו בלבד..
הגדרה 2.4. פונקציה \(f:V_{1}\rightarrow V_{2}\) בין שני מרחבים וקטוריים מעל \(\MKcomplex\) נקראת אנטי-ליניארית אם היא מקיימת (לכל \(v,w\in V_{1}\) ולכל \(\lambda\in\MKcomplex\)):\[\begin{align*}
f\left(v+w\right) & =f\left(v\right)+f\left(w\right)\\
f\left(\lambda\cdot v\right) & =\overline{\lambda}\cdot f\left(v\right)
\end{align*}\]ואם היא גם חח"ע ועל אז תקרא גם אנטי-איזומורפיזם.
משפט. משפט ההצגה של ריס18ערך בוויקיפדיה: פרידיש ריס.
נניח ש-\(V\) נ"ס, לכל \(l\in V^{*}\) קיים \(v\in V\) יחיד כך ש-\(l\left(w\right)=\left\langle v\mid w\right\rangle \) לכל \(w\in V\) (כלומר \(l=l_{v}\)).
נניח ש-\(V\) נ"ס, לכל \(l\in V^{*}\) קיים \(v\in V\) יחיד כך ש-\(l\left(w\right)=\left\langle v\mid w\right\rangle \) לכל \(w\in V\) (כלומר \(l=l_{v}\)).
מסקנה. נניח ש-\(V\) נ"ס ותהא \(\varphi:V\rightarrow V^{*}\) פונקציה המוגדרת ע"י \(\varphi\left(v\right):=l_{v}\) (לכל \(v\in V\)), אם \(\MKfield=\MKreal\) אז \(\varphi\) היא איזומורפיזם בין \(V\) ל-\(V^{*}\) ואם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז \(\varphi\) היא אנטי-איזומורפיזם בין \(V\) ל-\(V^{*}\).
הגדרה 2.5. נניח ש-\(V\) ו-\(W\) נ"ס ותהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית ההעתקה הצמודה של \(T\) (נקראת גם האופרטור הצמוד של \(T\) אם \(V=W\)) היה ההעתקה הליניארית \(T^{*}:W\rightarrow V\) המוגדרת ע"י (לכל \(w\in W\)):\[
T^{*}\left(w\right)=v_{\left(l_{w}\circ T\right)}
\]כלומר \(T^{*}\left(w\right)\) הוא הווקטור היחיד ב-\(V\) המקיים (לכל \(v\in V\)):\[
\left\langle T^{*}\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}=l_{T^{*}\left(w\right)}\left(v\right)=\left(l_{w}\circ T\right)\left(v\right)=l_{w}\left(T\left(v\right)\right)=\left\langle w\mid T\left(v\right)\right\rangle _{W}
\]
יהיו \(V\) ו-\(W\) מרחבים וקטוריים מעל לשדה \(\MKfield\).
2.2 במרחבים וקטוריים כלליים
משפט 2.6. נניח ש-\(V\) נ"ס, לכל \(0\neq f\in V^{*}\) מתקיים \(\dim\left(\ker f\right)=\dim V-1\).
טענה 2.7. נניח ש-\(W\) הוא תמ"ו של \(V\) (\(W\subseteq V\)), \(W^{0}\) הוא תמ"ו של \(V^{*}\).
משפט 2.8. נניח ש-\(V\) נ"ס ו-\(W\) הוא תמ"ו של \(V\) (\(W\subseteq V\)), מתקיים \(\dim W+\dim W^{0}=\dim V\).
הוכחה. יהי \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{k}\right)\) בסיס של \(W\) (\(k:=\dim W\)) ויהיו \(v_{k+1},v_{k+2},\ldots,v_{n}\) כך ש-\(\MKclb:=\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) הוא בסיס של \(V\) (\(n:=\dim V\)).
מהגדרת הבסיס הדואלי לכל \(i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\leq k<j\leq n\) מתקיים \(v_{j}^{*}\left(v_{i}\right)=0\) ולכן \(\MKspan\left(v_{k+1}^{*},v_{k+2}^{*},\ldots,v_{n}^{*}\right)\subseteq W^{0}\), מצד שני יהי \(f\in W^{0}\) ויהיו \(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[ f=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\cdot v_{i}^{*} \]לכל \(k\geq j\in\MKnatural\) מתקיים:\[ 0=f\left(v_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\cdot v_{i}^{*}\left(v_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\cdot\delta_{ij}=\lambda_{j} \]ומכאן ש-\(f\in\MKspan\left(v_{k+1}^{*},v_{k+2}^{*},\ldots,v_{n}^{*}\right)\), כלומר \(\MKspan\left(v_{k+1}^{*},v_{k+2}^{*},\ldots,v_{n}^{*}\right)\supseteq W^{0}\) ולכן \(\MKspan\left(v_{k+1}^{*},v_{k+2}^{*},\ldots,v_{n}^{*}\right)=W^{0}\) וממילא \(\dim W^{0}=n-k=\dim V-\dim W\).
מהגדרת הבסיס הדואלי לכל \(i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\leq k<j\leq n\) מתקיים \(v_{j}^{*}\left(v_{i}\right)=0\) ולכן \(\MKspan\left(v_{k+1}^{*},v_{k+2}^{*},\ldots,v_{n}^{*}\right)\subseteq W^{0}\), מצד שני יהי \(f\in W^{0}\) ויהיו \(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}\in\MKfield\) כך שמתקיים:\[ f=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\cdot v_{i}^{*} \]לכל \(k\geq j\in\MKnatural\) מתקיים:\[ 0=f\left(v_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\cdot v_{i}^{*}\left(v_{j}\right)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}\cdot\delta_{ij}=\lambda_{j} \]ומכאן ש-\(f\in\MKspan\left(v_{k+1}^{*},v_{k+2}^{*},\ldots,v_{n}^{*}\right)\), כלומר \(\MKspan\left(v_{k+1}^{*},v_{k+2}^{*},\ldots,v_{n}^{*}\right)\supseteq W^{0}\) ולכן \(\MKspan\left(v_{k+1}^{*},v_{k+2}^{*},\ldots,v_{n}^{*}\right)=W^{0}\) וממילא \(\dim W^{0}=n-k=\dim V-\dim W\).
משפט 2.9. נניח ש-\(V\) נ"ס ותהא \(\varphi:V\rightarrow V^{**}\) העתקת ההצבה המוגדרת ע"י \(\varphi\left(v\right):=f_{v}\) (לכל \(v\in V\)), \(\varphi\) היא איזומורפיזם בין \(V\) ל-\(V^{**}\).
- \(\clubsuit\)
- מבלבל למדי, נכון? שימו לב: \(\varphi\) לוקחת וקטור ב-\(V\) וצריכה להחזיר וקטור ב-\(V^{**}\), אבל וקטור ב-\(V^{**}\) הוא העתקה ליניארית המקבלת העתקה ליניארית ב-\(V^{*}\) ומחזירה סקלר ב-\(\MKfield\), כעת נזכור שגם וקטור ב-\(V^{*}\) הוא העתקה ליניארית המקבלת וקטור ב-\(V\) ומחזירה סקלר ב-\(\MKfield\) - לכן טבעי מאד ש-\(\varphi\) תחזיר העתקה ליניארית ב-\(V^{**}\) שפעולתה היא להציב את הווקטור המתקבל מ-\(V\) בכל ה"ל ב-\(V^{*}\).
כן, אני מודע לכך שגם ההסבר המפורט יותר מבלבל, אין מה לעשות, קחו נשימה ארוכה וקראו את הכל לאט לאט. - \(\clubsuit\)
- כלומר \(T^{**}\) (שהיא העתקה מ-\(V^{**}\) ל-\(W^{**}\)) איזומורפית ל-\(T\) (שהיא העתקה מ-\(V\) ל-\(W\)) בדיוק ע"י אותו איזומורפיזם שבין \(V\) ל-\(V^{**}\) ובין \(W\) ל-\(W^{**}\).
הוכחה. יהיו \(v,w\in V\) ו-\(\lambda\in\MKfield\), מתקיים:\[\begin{align*}
\varphi\left(v+w\right) & =f_{v+w}=f_{v}+f_{w}=\varphi\left(v\right)+\varphi\left(w\right)\\
\varphi\left(\lambda\cdot v\right) & =f_{\lambda\cdot v}=\lambda\cdot f_{v}=\lambda\cdot\varphi\left(v\right)
\end{align*}\]שהרי לכל \(T\in V^{*}\) מתקיים:\[\begin{align*}
f_{v+w}\left(T\right) & =T\left(v+w\right)=T\left(v\right)+T\left(w\right)=f_{v}\left(T\right)+f_{w}\left(T\right)\\
f_{\lambda\cdot v}\left(T\right) & =T\left(\lambda\cdot v\right)=\lambda\cdot T\left(v\right)=\lambda\cdot f_{v}\left(T\right)
\end{align*}\]אם כן \(\varphi\) היא העתקה ליניארית.
בנוסף, \(\varphi\) חח"ע שכן לכל \(0_{V}\neq v\in V\) קיימת ה"ל \(T\in V^{*}\) כך ש-\(T\left(v\right)=1\) ולכן לכל \(0_{V}\neq v\in V\) ההעתקה \(f_{v}\) אינה העתקת האפס, כלומר \(\ker\varphi=\left\{ 0_{V}\right\} \); מהעובדה ש-\(\varphi\) חח"ע נובע מיד שהיא על שהרי \(\dim V=\dim V^{*}=\dim V^{**}\).
בנוסף, \(\varphi\) חח"ע שכן לכל \(0_{V}\neq v\in V\) קיימת ה"ל \(T\in V^{*}\) כך ש-\(T\left(v\right)=1\) ולכן לכל \(0_{V}\neq v\in V\) ההעתקה \(f_{v}\) אינה העתקת האפס, כלומר \(\ker\varphi=\left\{ 0_{V}\right\} \); מהעובדה ש-\(\varphi\) חח"ע נובע מיד שהיא על שהרי \(\dim V=\dim V^{*}=\dim V^{**}\).
משפט 2.10. נניח ש-\(V\) ו-\(W\) נ"ס ותהא \(\varphi:W\rightarrow W^{**}\) העתקת ההצבה כפי שהוגדרה לעיל, מתקיים \(\varphi\left(T\left(v\right)\right)=T^{**}\left(f_{v}\right)\) לכל \(T\in\MKhom\left(V,W\right)\) ולכל \(v\in V\).
הוכחה. לכל \(v\in V\), לכל \(T\in\MKhom\left(V,W\right)\) ולכל \(g\in W^{*}\) מתקיים:\[
\varphi\left(T\left(v\right)\right)g=f_{T\left(v\right)}\left(g\right)=g\left(T\left(v\right)\right)=\left(g\circ T\right)\left(v\right)=f_{v}\left(g\circ T\right)=f_{v}\left(T^{*}\left(g\right)\right)=\left(f_{v}\circ T^{*}\right)g=T^{**}\left(f_{v}\right)g
\]
משפט 2.11. תכונות של ההעתקה הצמודה
תהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית.
תהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית.
- מתקיים \(\MKid_{V}^{*}=\MKid_{V^{*}}\).
- יהיו \(S:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית ו-\(\lambda\in\MKfield\), מתקיים:\[\begin{align*} \left(S+T\right)^{*} & =S^{*}+T^{*}\\ \left(\lambda\cdot T\right)^{*} & =\lambda\cdot T^{*} \end{align*}\]
- יהי \(U\) גם הוא ממ"פ מעל ל-\(\MKfield\) ותהא \(S:W\rightarrow U\) העתקה ליניארית, מתקיים:\[ \left(S\circ T\right)^{*}=T^{*}\circ S^{*} \]
- אם \(T\) הפיכה אז גם \(T^{*}\) הפיכה ומתקיים \(\left(T^{*}\right)^{-1}=\left(T^{-1}\right)^{*}\).
הוכחה. \(\:\)
- לכל \(f\in V^{*}\) מתקיים \(\MKid_{V}^{*}\left(f\right)=f\circ\MKid_{V}=\MKid_{V^{*}}\left(f\right)\).
- לכל \(f\in W^{*}\) מתקיים:\[\begin{align*} \left(S+T\right)^{*}\left(f\right) & =f\circ\left(S+T\right)=f\circ S+f\circ T\\ \left(\lambda\cdot T\right)^{*}\left(f\right) & =f\circ\left(\lambda\cdot T\right)=\lambda\cdot\left(f\circ T\right)=\lambda\cdot T^{*}\left(f\right) \end{align*}\]
- לכל \(f\in U^{*}\) מתקיים:\[ \left(T\circ S\right)^{*}\left(f\right)=f\circ\left(T\circ S\right)=\left(f\circ T\right)\circ S=S^{*}\left(f\circ T\right)=S^{*}\left(T^{*}\left(f\right)\right)=\left(S^{*}\circ T^{*}\right)\left(f\right) \]
- נניח ש-\(T\) הפיכה, מהסעיף הקודם ומהסעיף הראשון נובע שמתקיים:\[\begin{align*} \left(T^{-1}\right)^{*}\circ T^{*} & =\left(T\circ T^{-1}\right)^{*}=\MKid_{W}^{*}=\MKid_{W^{*}}\\ T^{*}\circ\left(T^{-1}\right)^{*} & =\left(T^{-1}\circ T\right)^{*}=\MKid_{V}^{*}=\MKid_{V^{*}} \end{align*}\]
2.3 במרחבי מכפלה פנימית
נניח ש-\(V\) ו-\(W\) הם מרחבי מכפלה פנימית (\(\MKfield\in\left\{ \MKreal,\MKcomplex\right\} \)) ונסמן ב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle _{V}\) וב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle _{W}\) את המכפלות הפנימיות שלהם19את המכפלה הפנימית של \(V\) נסמן גם ב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle \) כשנעסוק בו בלבד..
משפט 2.12. משפט ההצגה של ריס20ערך בוויקיפדיה: פרידיש ריס.
נניח ש-\(V\) נ"ס, לכל \(l\in V^{*}\) קיים \(v\in V\) יחיד כך ש-\(l\left(w\right)=\left\langle v\mid w\right\rangle \) לכל \(w\in V\) (כלומר \(l=l_{v}\)).
נניח ש-\(V\) נ"ס, לכל \(l\in V^{*}\) קיים \(v\in V\) יחיד כך ש-\(l\left(w\right)=\left\langle v\mid w\right\rangle \) לכל \(w\in V\) (כלומר \(l=l_{v}\)).
- \(\clubsuit\)
- זה לא כל כך מפתיע כשזוכרים שפונקציונל \(f:\MKfield^{n}\rightarrow\MKfield\) הוא בעצם כפל במטריצה מגודל \(1\times n\) (וקטור שורה) וכפל מטריצות כזה שקול לחלוטין למכפלה הסקלרית עם המשוחלפת שלה (כווקטור עמודה), כלומר כל פונקציונל הוא בעצם הטלה על הכיוון של וקטור מסוים (כדי לקבל איבר ב-\(\MKfield\)) ואז כפל בגודל של אותו וקטור (ראו בקובץ ההקדמה).
- \(\clubsuit\)
- זהו איזומורפיזם / אנטי-איזומורפיזם טבעי מאד, ממש כשם שהאיזומורפיזם בין \(V\) ל-\(V^{**}\) היה טבעי, אך מכיוון שהוא טבעי רק אחרי הגדרת מכפלה פנימית על \(V\) אין בו שום דבר קנוני משום שכפי שראינו כבר הגדרת מכפלה פנימית שקולה לבחירת בסיס - לכל בסיס של \(V\) קיימת מכפלה פנימית המגדירה אותו כאורתונורמלי.
- \(\clubsuit\)
- נשים לב: לכל בסיס אורתונורמלי \(\MKclb:=\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) של \(V\) מתקיים (לכל \(n\geq i,j\in\MKnatural\)):\[ l_{u_{i}}\left(v_{j}\right)=\left\langle u_{i}\mid u_{j}\right\rangle =\delta_{ij} \]ולכן \(\MKclb^{*}=\left(l_{u_{1}},l_{u_{2}},\ldots,l_{u_{n}}\right)\), כלומר \(\varphi\) מעתיקה כל בסיס אורתונורמלי של \(V\) לבסיס הדואלי שלו ב-\(V^{*}\); ניתן היה להסיק מכאן ש-\(\varphi\) הפיכה אך מכיוון ש-\(\varphi\) עלולה להיות אנטי-ליניארית זה היה דורש מעט עבודה.
- \(\clubsuit\)
- למעשה רק הצמצום הזה מעניין אותנו משום ש-\(\left(\MKim T^{*}\right)^{\perp}=\ker T\).
- \(\clubsuit\)
- במובן מסוים אני הופך כאן את היוצרות כשאני מציג את השקילות בין הצמדת מטריצה להצמדת ה"ל כמסקנה מהנוסחה המפורשת של ההעתקה הצמודה, לפני שאסביר זאת הרשו לי לספר סיפור קטן.
כשלמדנו על מטריצות בקורס הקודם מצאנו כמעט לכל הגדרה בעולם המטריצות \(M_{m\times n}\left(\MKfield\right)\) קשר ישיר להעתקות ליניאריות מ-\(\MKfield^{m}\) ל-\(\MKfield^{n}\): מטריצת היחידה היא העתקת הזהות, כפל מטריצות הוא הרכבה, מטריצה הפיכה היא ה"ל הפיכה וההופכית שלה היא ההעתקה ההופכית, העמודות של כל מטריצה הן האיברים אליהם נשלחים איברי הבסיס הסטנדרטי, מטריצות דומות מייצגות את אותן ה"ל אך בבסיסים שונים, למטריצות אלכסוניות ולמטריצות משולשיות יש אינטואיציה גאומטרית חזקה ועוד (שכחתי משהו?).
רק הגדרה אחת יצאה מן הכלל הזה: המטריצה המשוחלפת (ומטריצות סימטריות/אנטי-סימטריות שתלויות בה), מהרגע שלמדנו עליה ועד ליום שבו גיליתי את הנוסחה המפורשת להעתקה הצמודה (יותר משנה) "שברתי" את הראש כדי להבין מה הקשר בין מטריצה למשוחלפת שלה. כשלמדתי את הקורס אצל איתמר צביק הגדרנו את האופרטור הצמוד בתור האופרטור היחיד המקיים \(\left\langle f^{*}\left(v\right)\mid w\right\rangle =\left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle \) (לכל \(v,w\in V\))21שימו לב שזה אומר שהצמוד מוגדר רק אופרטורים מעל מרחב מכפלה פנימית ולא עבור העתקות ליניאריות כלליות או אופרטורים על מרחבים אחרים., בצורה זו היה קל להוכיח שבבסיס אורתונורמלי \(U\) מתקיים\(\left[f^{*}\right]_{U}=\left(\left[f\right]_{U}\right)^{*}\)22יהי \(g:V\rightarrow V\) אופרטור כך ש-\(\left[g\right]_{U}=\left(\left[f\right]_{U}\right)^{*}\)מתקיים (נשתמש באיזומרפיזם בין \(M_{1}\left(\MKfield\right)\) ל\SpecialChar softhyphen\(\MKfield\)):\[\begin{align*} \left\langle g\left(v\right)\mid w\right\rangle & =\left(\left[g\left(v\right)\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[w\right]_{U}\\ & =\left(\left[g\right]_{U}\cdot\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[w\right]_{U}\\ & =\left(\left(\left[f\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[w\right]_{U}\\ & =\left(\left(\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[f\right]_{U}\right)\cdot\left[w\right]_{U}\\ & =\left(\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left(\left[f\right]_{U}\cdot\left[w\right]_{U}\right)\\ & =\left(\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[f\left(w\right)\right]_{U}=\left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle \end{align*}\] אך לא הייתה לזה שום משמעות גאומטרית.
יום אחד קראתי בוויקיפדיה על האופרטור הצמוד במרחבים כלליים שם הוא הוגדר על המרחבים הדואליים ופעולתו הייתה להרכיב את האופרטור המקורי מימין, הסיכוי לכך שלא יהיה שום קשר בין שני הצמודים הללו אחרי שמסמנים אותם באופן זהה נראה לי אפסי וכך הבנתי שבמרחבי מכפלה פנימית \(T^{*}\) מעתיק את הווקטור \(w\) לווקטור שהמכפלה הפנימית איתו תהיה שקולה למכפלה הפנימית עם \(w\) כאשר לפני הפעלת המכפלה הפנימית מפעילים את \(T\). נרעש מן ההבנה הזו הבנתי שזה בדיוק מה שקורה בהצמדת מטריצות, הקואורדינטה ה-\(i\) של הווקטור \(A^{*}\cdot v\) היא המכפלה הסקלרית \(\left\langle A\cdot e_{i}\mid v\right\rangle \) ולכן:\[ A^{*}\cdot v=\sum_{i=1}^{n}\left\langle A\cdot e_{i}\mid v\right\rangle \cdot e_{i} \]ואם המטריצה הצמודה אכן מייצגת את האופרטור הצמוד הנוסחה הזו צריכה להתקיים גם עבורו.
לנוסחה הזו יש כמובן פירוש גאומטרי פשוט מאד: אנו מבצעים מכפלה פנימית עם כל אחת מהתמונות של וקטורי הבסיס האורתונורמלי (כבר ראינו מה זה אומר מבחינה גאומטרית), כופלים בווקטור הבסיס המתאים בכל פעם וסוכמים את הכל.
הוכחה. יהי \(l\in V^{*}\), יהי \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) בסיס אורתונורמלי של \(V\) ונסמן:\[
v:=\sum_{i=1}^{n}\overline{l\left(u_{i}\right)}\cdot u_{i}
\]מכאן שלכל \(n\geq j\in\MKnatural\) מתקיים:\[
\left\langle v\mid u_{j}\right\rangle =\left\langle \begin{array}{c|c}
\begin{alignedat}{1}\sum_{i=1}^{n}\overline{l\left(u_{i}\right)}\cdot u_{i}\end{alignedat}
& u_{j}\end{array}\right\rangle =\sum_{i=1}^{n}l\left(u_{i}\right)\cdot\left\langle u_{i}\mid u_{j}\right\rangle =l\left(u_{j}\right)
\]מכאן שלכל \(w\in V\) מתקיים:\[
l\left(w\right)=l\left(\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle \cdot u_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle \cdot l\left(u_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle \cdot\left\langle v\mid u_{i}\right\rangle =\left\langle v\mid w\right\rangle
\]אם כן הוכחנו את הקיום של \(v\) כנ"ל; נוכיח כעת את היחידות, יהיו \(v_{1},v_{2}\in V\) כך ש-\(l\left(w\right)=\left\langle v_{1}\mid w\right\rangle =\left\langle v_{2}\mid w\right\rangle \) לכל \(w\in V\), מכאן שלכל \(w\in W\) מתקיים:\[
0=\left\langle v_{1}\mid w\right\rangle -\left\langle v_{2}\mid w\right\rangle =\left\langle v_{1}-v_{2}\mid w\right\rangle
\]ולכן \(v_{1}-v_{2}=0_{V}\), כלומר \(v_{1}=v_{2}\).
מסקנה 2.13. נניח ש-\(V\) נ"ס ותהא \(\varphi:V\rightarrow V^{*}\) פונקציה המוגדרת ע"י \(\varphi\left(v\right):=l_{v}\) (לכל \(v\in V\)), אם \(\MKfield=\MKreal\) אז \(\varphi\) היא איזומורפיזם בין \(V\) ל-\(V^{*}\) ואם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז \(\varphi\) היא אנטי-איזומורפיזם בין \(V\) ל-\(V^{*}\).
הוכחה. ההפיכות של \(\varphi\) נובעת ישירות ממשפט ההצגה של ריס, אם כן נעבור להוכיח שאם \(\MKfield=\MKreal\) אז \(\varphi\) היא העתקה ליניארית ואם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז היא העתקה אנטי-ליניארית.
לכל \(v,w,u\in V\), לכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים:\[\begin{align*} l_{v+w}\left(u\right) & =\left\langle v+w\mid u\right\rangle =\left\langle v\mid u\right\rangle +\left\langle w\mid u\right\rangle =l_{v}\left(u\right)+l_{w}\left(u\right)\\ l_{\lambda\cdot v}\left(w\right) & =\left\langle \lambda\cdot v\mid w\right\rangle =\overline{\lambda}\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle =\overline{\lambda}\cdot l_{v}\left(w\right) \end{align*}\]ומכאן שלכל \(v,w\in V\) ולכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים:\[\begin{align*} \varphi\left(v+w\right) & =l_{v+w}=l_{v}+l_{w}=\varphi\left(v\right)+\varphi\left(w\right)\\ \varphi\left(\lambda\cdot v\right) & =l_{\lambda\cdot v}=\overline{\lambda}\cdot l_{v}=\overline{\lambda}\cdot\varphi\left(v\right) \end{align*}\]
לכל \(v,w,u\in V\), לכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים:\[\begin{align*} l_{v+w}\left(u\right) & =\left\langle v+w\mid u\right\rangle =\left\langle v\mid u\right\rangle +\left\langle w\mid u\right\rangle =l_{v}\left(u\right)+l_{w}\left(u\right)\\ l_{\lambda\cdot v}\left(w\right) & =\left\langle \lambda\cdot v\mid w\right\rangle =\overline{\lambda}\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle =\overline{\lambda}\cdot l_{v}\left(w\right) \end{align*}\]ומכאן שלכל \(v,w\in V\) ולכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים:\[\begin{align*} \varphi\left(v+w\right) & =l_{v+w}=l_{v}+l_{w}=\varphi\left(v\right)+\varphi\left(w\right)\\ \varphi\left(\lambda\cdot v\right) & =l_{\lambda\cdot v}=\overline{\lambda}\cdot l_{v}=\overline{\lambda}\cdot\varphi\left(v\right) \end{align*}\]
משפט 2.14. יהיו \(V\) ממ"פ נ"ס ו-\(W\subseteq V\) תמ"ו ותהא \(\varphi\) אותה פונקציה שהוגדרה במסקנה הקודמת (2.8), אם \(\MKfield=\MKreal\) אז הצמצום של \(\varphi\) ל-\(W^{\perp}\) (\(\varphi\mid_{W^{\perp}}\)) הוא איזומורפיזם בין \(W^{\perp}\) ל-\(W^{0}\) ואם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז \(\varphi\mid_{W^{\perp}}\) הוא אנטי-איזומורפיזם בין \(W^{\perp}\) ל-\(W^{0}\).
תהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית.
טענה 2.15. תהיינה \(T:V\rightarrow W\) ו-\(S:W\rightarrow V\) העתקות לינאריות, אם מתקיים \(\left\langle S\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}=\left\langle w\mid T\left(v\right)\right\rangle _{W}\) לכל \(v\in V\) ולכל \(w\in W\) אז \(S=T^{*}\).
הוכחה. לכל \(v\in V\) ולכל \(w\in W\) מתקיים:\[
\left\langle T^{*}\left(w\right)-S\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}=\left\langle T^{*}\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}-\left\langle S\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}=\left\langle w\mid T\left(v\right)\right\rangle _{W}-\left\langle w\mid T\left(v\right)\right\rangle _{W}=0
\]מכאן שלכל \(w\in W\) מתקיים \(S\left(w\right)=T^{*}\left(w\right)\), כלומר \(S=T^{*}\).
משפט 2.16. תכונות של ההעתקה הצמודה מעל מרחבי מכפלה פנימית
- מתקיים \(\MKid_{V}^{*}=\MKid_{V}\).
- יהיו \(S:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית ו-\(\lambda\in\MKfield\), מתקיים:\[\begin{align*} \left(S+T\right)^{*} & =S^{*}+T^{*}\\ \left(\lambda\cdot T\right)^{*} & =\lambda\cdot T^{*} \end{align*}\]
- יהי \(U\) גם הוא ממ"פ מעל ל-\(\MKfield\) ותהא \(S:W\rightarrow U\) העתקה ליניארית, מתקיים:\[ \left(S\circ T\right)^{*}=T^{*}\circ S^{*} \]
- אם \(T\) הפיכה אז גם \(T^{*}\) הפיכה ומתקיים \(\left(T^{*}\right)^{-1}=\left(T^{-1}\right)^{*}\).
- תהא \(S:W\rightarrow V\) העתקה ליניארית, מתקיים \(S=T^{*}\) אם"ם \(\left\langle v\mid S\left(w\right)\right\rangle _{V}=\left\langle T\left(v\right)\mid w\right\rangle _{W}\).
- מתקיים \(\left(T^{*}\right)^{*}=T\).
- אם \(V\) נ"ס אז \(\MKim T^{*}=\left(\ker T\right)^{\perp}\).
- נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(f:V\rightarrow V\) אופרטור כך ש-\(U\subseteq V\) הוא תמ"ו שמור תחת \(f\), \(U^{\perp}\) שמור תחת \(f^{*}\).
הוכחה. יהיו \(v,v'\in V\), \(w\in W\) ו-\(\lambda\in\MKfield\), מתקיים:
- \[ \left\langle \MKid_{V}^{*}\left(v\right)\mid v'\right\rangle =\left\langle v\mid\MKid_{V}\left(v'\right)\right\rangle \]
- \[\begin{align*} \left\langle \left(S^{*}+T^{*}\right)\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V} & =\left\langle S^{*}\left(w\right)+T^{*}\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}=\left\langle S^{*}\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}+\left\langle T^{*}\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}\\ & =\left\langle w\mid S\left(v\right)\right\rangle _{W}+\left\langle w\mid T\left(v\right)\right\rangle _{W}=\left\langle w\mid S\left(v\right)+T\left(v\right)\right\rangle _{W}=\left\langle w\mid\left(S+T\right)\left(v\right)\right\rangle _{W}\\ \left\langle \left(\overline{\lambda}\cdot T^{*}\right)\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V} & =\left\langle \overline{\lambda}\cdot T^{*}\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}=\lambda\cdot\left\langle T^{*}\mid v\right\rangle _{V}=\lambda\cdot\left\langle w\mid T\left(v\right)\right\rangle _{W}\\ & =\left\langle w\mid\lambda\cdot T\left(v\right)\right\rangle _{W}=\left\langle w\mid\left(\lambda\cdot T\right)\left(v\right)\right\rangle _{W} \end{align*}\]
- נסמן ב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle _{U}\) את המכפלה הפנימית של \(U\) ויהי \(u\in U\),\[\begin{align*} \left\langle \left(T^{*}\circ S^{*}\right)\left(u\right)\mid v\right\rangle _{V} & =\left\langle T^{*}\left(S^{*}\left(u\right)\right)\mid v\right\rangle _{V}=\left\langle S^{*}\left(u\right)\mid T\left(v\right)\right\rangle _{W}\\ & =\left\langle u\mid S\left(T\left(v\right)\right)\right\rangle _{U}=\left\langle u\mid\left(S\circ T\right)\left(v\right)\right\rangle _{U} \end{align*}\]
- נניח ש-\(T\) הפיכה, מהסעיף הקודם ומהסעיף הראשון נובע שמתקיים:\[\begin{align*} \left(T^{-1}\right)^{*}\circ T^{*} & =\left(T\circ T^{-1}\right)^{*}=\MKid_{W}^{*}=\MKid_{W}\\ T^{*}\circ\left(T^{-1}\right)^{*} & =\left(T^{-1}\circ T\right)^{*}=\MKid_{V}^{*}=\MKid_{V} \end{align*}\]
- מתקיים:\[ \left\langle v\mid T^{*}\left(w\right)\right\rangle _{V}=\overline{\left\langle T^{*}\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}}=\overline{\left\langle w\mid T\left(v\right)\right\rangle _{W}}=\left\langle T\left(v\right)\mid w\right\rangle _{W} \]ובאופן דומה אם \(\left\langle v\mid S\left(w\right)\right\rangle _{V}=\left\langle T\left(v\right)\mid w\right\rangle _{W}\) אז \(\left\langle S\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}=\left\langle w\mid T\left(v\right)\right\rangle _{W}\).
- מהגדרה מתקיים \(\left\langle \left(T^{*}\right)^{*}\left(v\right)\mid w\right\rangle _{W}=\left\langle v\mid T^{*}\left(w\right)\right\rangle _{V}\) ולכן מהסעיף הקודם נובע ש-\(\left\langle \left(T^{*}\right)^{*}\left(v\right)\mid w\right\rangle _{W}=\left\langle T\left(v\right)\mid w\right\rangle _{W}\).
- מהגדרה מתקיים \(\left\langle T^{*}\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}=\left\langle w\mid T\left(v\right)\right\rangle _{W}\) ולכן אם \(v\in\ker T\) (כלומר \(T\left(v\right)=0_{W}\)) אז \(\left\langle T^{*}\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}=0\), כלומר \(T^{*}\left(w\right)\perp v\).
- לכל \(u\in U\) ולכל \(u^{\perp}\in U^{\perp}\) מתקיים:\[ \left\langle f^{*}\left(u^{\perp}\right)\mid u\right\rangle =\left\langle u^{\perp}\mid f\left(u\right)\right\rangle =0 \]משום ש-\(f\left(u\right)\in u\), ומכאן ש-\(U^{\perp}\)שמור תחת \(f^{*}\).
הוכחה. בסעיפים1,2,3,5צריך להוסיף ולהסביר שהמבוקש נובע מטענה 2.10, ובסעיף6יש להשתמש במסקנה 1.9; בכל הסעיפים מלבד ב-8 יש להשתמש בעובדה ש-\(v\) ו-\(w\) (ובסעיף2גם \(v'\) ו-\(\lambda\)) שרירותיים.
מסקנה 2.17. הצמצום של \(T\) ל-\(\MKim T^{*}\) (\(T\mid_{\MKim T^{*}}:\MKim T^{*}\rightarrow\MKim T\)) הוא העתקה חח"ע ועל.
מסקנה 2.18. נוסחה מפורשת להעתקה הצמודה
נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) בסיס אורתונורמלי של \(V\), לכל \(w\in W\) מתקיים:\[ T^{*}\left(w\right)=\sum_{i=1}^{n}\left\langle T\left(u_{i}\right)\mid w\right\rangle _{W}\cdot u_{i} \]
נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) בסיס אורתונורמלי של \(V\), לכל \(w\in W\) מתקיים:\[ T^{*}\left(w\right)=\sum_{i=1}^{n}\left\langle T\left(u_{i}\right)\mid w\right\rangle _{W}\cdot u_{i} \]
הוכחה. יהי \(w\in W\), ממשפט 1.12 נובע שמתקיים:\[
T^{*}\left(w\right)=\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid T^{*}\left(w\right)\right\rangle _{V}\cdot u_{i}
\]ולכן ע"פ סעיף5במשפט 2.11 מתקיים:\[
T^{*}\left(w\right)=\sum_{i=1}^{n}\left\langle T\left(u_{i}\right)\mid w\right\rangle _{W}\cdot u_{i}
\]
מסקנה 2.19. נניח ש-\(V\) ו-\(W\) נ"ס ויהיו \(\MKclb\) ו-\(\MKclc\) בסיסים אורתונורמליים של \(V\) ו-\(U\) בהתאמה, מתקיים:\[
\left[T^{*}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}=\left(\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\right)^{*}
\]
הוכחה. נגדיר \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right):=\MKclb\) ו-\(\left(w_{1},w_{2},\ldots,w_{m}\right):=\MKclc\).
ממשפט 1.12 ומהגדרת המטריצה המייצגת נובע שהשורה ה-\(i\) ב-\(\left(\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\right)^{*}\) היא (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ):\[\begin{align*} \left(\left[T\left(v_{i}\right)\right]_{\MKclc}\right)^{*} & =\left(\begin{bmatrix}\left\langle w_{1}\mid T\left(v_{i}\right)\right\rangle _{W}\\ \left\langle w_{2}\mid T\left(v_{i}\right)\right\rangle _{W}\\ \vdots\\ \left\langle w_{m}\mid T\left(v_{i}\right)\right\rangle _{W} \end{bmatrix}\right)^{*}=\left[\begin{array}{cccc} \overline{\left\langle w_{1}\mid T\left(v_{i}\right)\right\rangle _{W}} & \overline{\left\langle w_{2}\mid T\left(v_{i}\right)\right\rangle _{W}} & \cdots & \overline{\left\langle w_{m}\mid T\left(v_{i}\right)\right\rangle _{W}}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc} \left\langle T\left(v_{i}\right)\mid w_{1}\right\rangle _{W} & \left\langle T\left(v_{i}\right)\mid w_{2}\right\rangle _{W} & \cdots & \left\langle T\left(v_{i}\right)\mid w_{m}\right\rangle _{W}\end{array}\right] \end{align*}\]אם כן הקואורדינטה ה-\(ij\) במטריצה \(\left(\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\right)^{*}\) היא \(\left\langle T\left(v_{i}\right)\mid w_{j}\right\rangle \) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(m\geq j\in\MKnatural\)).
מצד שני ע"פ הנוסחה המפורשת של ההעתקה הצמודה ומהגדרת המטריצה המייצגת נובע שהעמודה ה-\(j\) ב-\(\left[T^{*}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\) היא (לכל \(m\geq j\in\MKnatural\)):\[ \left[T^{*}\left(w_{j}\right)\right]_{\MKclb}=\begin{bmatrix}\left\langle T\left(v_{1}\right)\mid w_{j}\right\rangle _{W}\\ \left\langle T\left(v_{2}\right)\mid w_{j}\right\rangle _{W}\\ \vdots\\ \left\langle T\left(v_{n}\right)\mid w_{j}\right\rangle _{W} \end{bmatrix} \]ולכן הקואורדינטה ה-\(ij\) במטריצה \(\left[T^{*}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\) היא \(\left\langle T\left(v_{i}\right)\mid w_{j}\right\rangle _{W}\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(m\geq j\in\MKnatural\)) ולכן המטריצות שוות.
ממשפט 1.12 ומהגדרת המטריצה המייצגת נובע שהשורה ה-\(i\) ב-\(\left(\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\right)^{*}\) היא (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ):\[\begin{align*} \left(\left[T\left(v_{i}\right)\right]_{\MKclc}\right)^{*} & =\left(\begin{bmatrix}\left\langle w_{1}\mid T\left(v_{i}\right)\right\rangle _{W}\\ \left\langle w_{2}\mid T\left(v_{i}\right)\right\rangle _{W}\\ \vdots\\ \left\langle w_{m}\mid T\left(v_{i}\right)\right\rangle _{W} \end{bmatrix}\right)^{*}=\left[\begin{array}{cccc} \overline{\left\langle w_{1}\mid T\left(v_{i}\right)\right\rangle _{W}} & \overline{\left\langle w_{2}\mid T\left(v_{i}\right)\right\rangle _{W}} & \cdots & \overline{\left\langle w_{m}\mid T\left(v_{i}\right)\right\rangle _{W}}\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cccc} \left\langle T\left(v_{i}\right)\mid w_{1}\right\rangle _{W} & \left\langle T\left(v_{i}\right)\mid w_{2}\right\rangle _{W} & \cdots & \left\langle T\left(v_{i}\right)\mid w_{m}\right\rangle _{W}\end{array}\right] \end{align*}\]אם כן הקואורדינטה ה-\(ij\) במטריצה \(\left(\left[T\right]_{\MKclc}^{\MKclb}\right)^{*}\) היא \(\left\langle T\left(v_{i}\right)\mid w_{j}\right\rangle \) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(m\geq j\in\MKnatural\)).
מצד שני ע"פ הנוסחה המפורשת של ההעתקה הצמודה ומהגדרת המטריצה המייצגת נובע שהעמודה ה-\(j\) ב-\(\left[T^{*}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\) היא (לכל \(m\geq j\in\MKnatural\)):\[ \left[T^{*}\left(w_{j}\right)\right]_{\MKclb}=\begin{bmatrix}\left\langle T\left(v_{1}\right)\mid w_{j}\right\rangle _{W}\\ \left\langle T\left(v_{2}\right)\mid w_{j}\right\rangle _{W}\\ \vdots\\ \left\langle T\left(v_{n}\right)\mid w_{j}\right\rangle _{W} \end{bmatrix} \]ולכן הקואורדינטה ה-\(ij\) במטריצה \(\left[T^{*}\right]_{\MKclb}^{\MKclc}\) היא \(\left\langle T\left(v_{i}\right)\mid w_{j}\right\rangle _{W}\) (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) ולכל \(m\geq j\in\MKnatural\)) ולכן המטריצות שוות.
3 העתקות אוניטריות
3.1 הגדרות
- \(\clubsuit\)
- בקורס הקודם למדנו על העתקות ליניאריות שהן פונקציות בין שני מרחבים וקטוריים המשמרות את המבנה שלהן, כשאנו עוסקים במרחבי מכפלה פנימית טבעי מאד לעסוק בפונקציות המשמרות את לא רק את המבנה שלהם כמרחבים וקטוריים אלא גם כמרחבי מכפלה פנימית.
- \(\clubsuit\)
- איזומטריה היא איזומורפיזם על מרחבי מכפלה פנימית: היא הפיכה, משמרת את החיבור הווקטורי והכפל בסקלר מהיותה העתקה ליניארית, ומשמרת את המכפלה הפנימית מהיותה העתקה אוניטרית.
- \(\clubsuit\)
- ראינו בקורס הקודם שכל בסיס של מ"ו נ"ס מגדיר איזומורפיזם בינו לבין \(\MKfield^{n}\) (כאשר \(\MKfield\) הוא השדה שמעליו נמצא המרחב הווקטורי), כעת אנו רואים שכל בסיס אורתונורמלי מגדיר איזומטריה בין מרחב אוקלידי ל-\(\MKreal^{n}\): כשהראינו לעיל (בסוף הסעיף "ניצבות") שלכל בסיס \(\MKclb\) של מ"ו נ"ס \(V\) מעל \(\MKreal\) או \(\MKcomplex\) יש מכפלה פנימית המגדירה אותו כאורתונורמלי, מה שעשינו הוא בעצם להגדיר העתקה ליניארית \(T\) המעתיקה את \(\MKclb\) לבסיס הסטנדרטי של \(\MKreal^{n}\)/\(\MKcomplex^{n}\) ואז הגדרנו את המכפלה הפנימית ב-\(V\) ע"י המכפלה הסקלרית ב-\(\MKreal^{n}\)/\(\MKcomplex^{n}\); במובן הזה המכפלה הסקלרית היא המכפלה הפנימית היחידה על מ"ו נ"ס (עד כדי איזומורפיזם).
- \(\clubsuit\)
- כל אופרטור על ממ"פ נ"ס הוא איזומטריה ליניארית מהמרחב לעצמו, יחד עם העובדה שאופרטור הזהות הוא אוניטרי נקבל שקבוצת האופרטורים האוניטריים על \(V\), שתסומן ב-\(\text{O}\left(V\right)\), היא חבורה כאשר פעולת הכפל של החבורה היא ההרכבה.
- \(\clubsuit\)
- מטריצה אוניטרית מגדירה אופרטור אוניטרי על \(\MKfield^{n}\) ביחס מכפלה הסקלרית, לכל \(v,w\in\MKfield^{n}\) מתקיים:\[
\left\langle T_{A}\left(v\right)\mid T_{A}\left(w\right)\right\rangle =\left(A\cdot v\right)^{*}\cdot\left(A\cdot w\right)=v^{*}\cdot A^{*}\cdot A\cdot w=v^{*}\cdot I_{n}\cdot w=v^{*}\cdot w=\left\langle v\mid w\right\rangle
\]כאשר אנו משתמשים באיזומורפיזם בין \(M_{1}\left(\MKfield\right)\) ל-\(\MKfield\).
כמובן, כל זה עובד כל כך יפה מפני שכפל מטריצות הוגדר כך שכל כניסה במטריצה היא בעצם מכפלה סקלרית של שני וקטורים (מעל \(\MKcomplex\) יש צורך גם בהצמדה לפני כן). - \(\clubsuit\)
- למעשה ניתן היה להסתפק בדרישה ש-\(A^{*}\cdot A=I_{n}\) משום שאז \(A^{*}=A^{-1}\) ולכן ודאי ש-\(A\cdot A^{*}=I_{n}\).
- \(\clubsuit\)
- נשים לב מה קורה כאן: השוויון \(A^{*}\cdot A=I_{n}\) אומר שלכל עמודה ב-\(A\) המכפלה הסקלרית שלה עם עצמה (כווקטור ב-\(\MKfield^{n}\)) היא \(1\) והמכפלה הסקלרית שלה עם כל עמודה אחרת היא \(0\), כלומר העמודות של \(A\) מהוות בסיס אורתונורמלי של \(\MKfield^{n}\) ביחס למכפלה הסקלרית.
- \(\clubsuit\)
- נניח ש-\(V\) נ"ס, אופרטור \(f:V\rightarrow V\) הוא אופרטור אוניטרי אם"ם לכל בסיס אורתונורמלי \(U\) המטריצה \(\left[f\right]_{U}\) אוניטרית, לסיכום: מטריצות אוניטריות הן מטריצות מייצגות של העתקות אוניטריות בבסיסים אורתונורמליים (איזה כיף לומר משפטים מבלבלים כאלה: "גנן גידל דגן בגן...", "שרה שרה שיר שמח...").
הסיבה לכך היא כפי שראינו לעיל: לייצג את \(f\) בבסיס אורתונורמלי שקול להעתקת וקטורי הבסיס לבסיס הסטנדרטי של \(\MKfield^{n}\). - \(\clubsuit\)
- כלומר \(f\) לכסין בבסיס אורתונורמלי אם"ם קיים בסיס אורתונורמלי שכל איבריו הם וקטורים עצמיים של \(f\).
- \(\clubsuit\)
- בלכסון רגיל אחרי שמצאנו את הבסיס המלכסן היינו יכולים לשים את הבסיס בעמודות מטריצה \(P\) ולקבל שמתקיים \(P^{-1}AP=D\) (כאשר \(D\) היא הצורה האלכסונית של \(A\)), אבל איזו מטריצה היא \(P^{-1}\)? - זו שאלה חשובה, כפי שראינו בחלק שעסק באופרטורים התשובה לה מאפשר לנו להעלות מטריצות לכסינות בחזקות באופן מהיר מאד, מתקיים:\[
A^{n}=\left(P^{-1}DP\right)\left(P^{-1}DP\right)\ldots\left(P^{-1}DP\right)=P^{-1}D^{n}P
\]ולהעלות מטריצה אלכסונית בחזקה זה פשוט מאד - מעלים את הערכים שעל האלכסון הראשי באותה חזקה.
כדי למצוא את \(P^{-1}\) היינו צריכים לדרג את \(P\) - זה אמנם אלגוריתם בעל זמן ריצה פולינומיאלי23\(O\left(n^{3}\right)\) אם לדייק - ראו כאן. אבל לא כ"כ כיף לביצוע באופן ידני, היופי בלכסון אורתוגונלי/אוניטרי הוא שאם מצאנו בדרך פלא בסיס מלכסן (אנחנו נראה בקובץ הטענות דרך פלא כזו) אז מתקיים \(P^{-1}=P^{*}\), והצמדת מטריצה היא פעולה פשוטה מאד.
יהיו \(V\) ו-\(W\) מרחבי מכפלה פנימית מעל לשדה \(\MKfield\) ונסמן ב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle _{V}\) וב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle _{W}\) את המכפלות הפנימיות שלהם.
הגדרה 3.1. העתקה ליניארית \(T:V\rightarrow W\) תקרא העתקה אוניטרית (אופרטור אוניטרי אם \(V=W\)) אם לכל \(v_{1},v_{2}\in V\) מתקיים:\[
\left\langle T\left(v_{1}\right)\mid T\left(v_{2}\right)\right\rangle _{W}=\left\langle v_{1}\mid v_{2}\right\rangle _{V}
\]אם \(\MKfield=\MKreal\) נאמר גם ש-\(T\) היא העתקה אורתוגונלית (אופרטור אורתוגונלי אם \(V=W\)).
תהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה אוניטרית.
מסקנה 3.2. העתקה אוניטרית מעתיקה סדרות אורתוגונליות לסדרות אורתוגונליות וסדרות אורתונורמליות לסדרות אורתונורמליות, כלומר::
- לכל סדרה אורתוגונלית \(\left(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\right)\) ב-\(V\) גם הסדרה \(\left(T\left(v_{1}\right),T\left(v_{2}\right),\ldots,T\left(v_{n}\right)\right)\) הוא סדרה אורתוגונלית ב-\(W\).
- לכל סדרה אורתונורמלית \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) ב-\(V\) גם הסדרה \(\left(T\left(u_{1}\right),T\left(u_{2}\right),\ldots,T\left(u_{n}\right)\right)\) הוא סדרה אורתונורמלית ב-\(W\).
מסקנה 3.3. אם \(V\) ו-\(W\) נ"ס ובעלי ממד זהה אז \(T\) מעתיקה בסיס אורתונורמלי לבסיס אורתונורמלי ולכן הפיכה.
הגדרה 3.4. תהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה אוניטרית, אם \(V\) ו-\(V\) נ"ס ובעלי ממד זהה נאמר גם ש-\(T\) היא איזומטריה ליניארית וש-\(V\) ו-\(W\) איזומטריים זה לזה.
מסקנה 3.5. כל מרחב מכפלה פנימית נ"ס \(V\) איזומטרי ל-\(\MKreal^{n}\) (כאשר \(n:=\dim V\)) עם המכפלה הסקלרית.
משפט. אם \(T\) הפיכה אז \(T^{-1}=T^{*}\) וזוהי העתקה אוניטרית.
הגדרה 3.6. מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) תקרא אוניטרית אם \(A^{*}\cdot A=I_{n}=A\cdot A^{*}\), אם \(\MKfield=\MKreal\) נאמר גם ש-\(A\) אורתוגונלית.
הגדרה 3.7. לכסון בבסיס אורתונורמלי
נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(f:V\rightarrow V\) אופרטור.
נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(f:V\rightarrow V\) אופרטור.
- נאמר ש-\(f\) לכסין בבסיס אורתונורמלי אם קיים בסיס אורתונורמלי \(U\) של \(V\) כך ש-\(\left[f\right]_{U}\) אלכסונית,
אם \(V\) אוקלידי (\(\MKfield=\MKreal\)) נאמר גם ש-\(f\) לכסין אורתוגונלית ואם \(V\) הרמיטי (\(\MKfield=\MKcomplex\)) נאמר גם ש-\(f\) לכסין אוניטרית. - נאמר שמטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKreal\right)\) לכסינה אורתוגונלית אם קיימת מטריצה אורתוגונלית \(O\in M_{n}\left(\MKreal\right)\) כך ש-\(O^{-1}AO\) היא מטריצה אלכסונית (כלומר האופרטור \(T_{A}\) לכסין אורתוגונלית).
- נאמר שמטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) לכסינה אוניטרית אם קיימת מטריצה אוניטרית \(U\in M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) כך ש-\(U^{-1}AU\) היא מטריצה אלכסונית (כלומר האופרטור \(T_{A}\) לכסין אוניטרית).
יהיו \(V\) ו-\(W\) מרחבי מכפלה פנימית מעל לשדה \(\MKfield\) ונסמן ב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle _{V}\) וב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle _{W}\) את המכפלות הפנימיות שלהם24את המכפלה הפנימית של \(V\) נסמן גם ב-\(\left\langle \cdot\mid\cdot\right\rangle \) כשנעסוק בו בלבד..
3.2 העתקות אוניטריות שאינן בהכרח אופרטורים
תהא \(T:V\rightarrow W\) העתקה אוניטרית.
משפט 3.8. אם \(T\) הפיכה אז \(T^{-1}=T^{*}\) וזוהי העתקה אוניטרית.
- \(\clubsuit\)
- בפרט, אם \(V\) ו-\(W\) נ"ס בעלי ממד זהה אז \(T\) הפיכה ו-\(T^{-1}=T^{*}\) אוניטרית.
- \(\clubsuit\)
- בפרט, אם \(V\) ו-\(W\) נ"ס בעלי ממד זהה אז \(T\) הפיכה ו-\(T^{-1}=T^{*}\) אוניטרית.
- \(\clubsuit\)
- כל האלגברה הזו לא באמת מעניינת, הנקודה שצריך לקחת בכאן היא שהעתקה ליניארית היא אוניטרית (כלומר שומרת על המכפלה הפנימית) אם"ם היא שומרת על הנורמה.
הוכחה. נניח ש-\(T\) הפיכה, מכאן שלכל \(w_{1},w_{2}\in W\) מתקיים:\[
\left\langle T^{-1}\left(w_{1}\right)\mid T^{-1}\left(w_{2}\right)\right\rangle _{V}=\left\langle T\left(T^{-1}\left(w_{1}\right)\right)\mid T\left(T^{-1}\left(w_{2}\right)\right)\right\rangle _{W}=\left\langle w_{1}\mid w_{2}\right\rangle _{V}
\]אם כן \(T^{-1}\) אוניטרית. בנוסף, לכל \(v\in V\) ולכל \(w\in W\) מתקיים:\[
\left\langle T^{-1}\left(w\right)\mid v\right\rangle _{V}=\left\langle T\left(T^{-1}\left(w\right)\right)\mid T\left(v\right)\right\rangle _{W}=\left\langle w\mid T\left(v\right)\right\rangle _{W}
\]ומכאן ש-\(T^{-1}=T^{*}\).
טענה 3.9. \(T\) חח"ע.
הוכחה. יהי \(v\in V\) כך ש-\(T\left(v\right)=0_{W}\), אם כן לכל \(v'\in V\) מתקיים:\[
\left\langle v\mid v'\right\rangle _{V}=\left\langle T\left(v\right)\mid T\left(v'\right)\right\rangle _{W}=\left\langle 0_{W}\mid T\left(v'\right)\right\rangle _{W}=0
\]מכאן ש-\(v=0_{V}\), כלומר \(\ker T=\left\{ 0_{V}\right\} \) ולכן \(T\) חח"ע.
מסקנה 3.10. אם \(T\) על אז \(T\) הפיכה, מתקיים \(T^{-1}=T^{*}\) וזוהי העתקה אוניטרית.
מסקנה 3.11. לכל אופרטור \(f:V\rightarrow V\) מתקיים \(f\) אוניטרי אם"ם \(f^{*}\circ f=\MKid_{V}=f\circ f^{*}\).
טענה 3.12. תהא \(S:V\rightarrow W\) העתקה ליניארית, אם \(S^{*}\circ S=\MKid_{V}\) אז \(S\) אוניטרית.
הוכחה. לכל \(v_{1},v_{2}\in V\) מתקיים:\[
\left\langle S\left(v_{1}\right)\mid S\left(v_{2}\right)\right\rangle _{W}=\left\langle S^{*}\left(S\left(v_{1}\right)\right)\mid v_{2}\right\rangle _{V}=\left\langle v_{1}\mid v_{2}\right\rangle _{V}
\]
טענה 3.13. יהי \(U\) גם הוא ממ"פ מעל ל-\(\MKfield\) ותהא \(S:W\rightarrow U\) העתקה אוניטרית, גם \(S\circ T\) היא העתקה אוניטרית.
משפט 3.14. נוסחת הפולריזציה
אם \(\MKfield=\MKreal\) אז לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} \left\langle v\mid w\right\rangle & =\frac{\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left(\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}\right)}{2}\\ \left\langle v\mid w\right\rangle & =\frac{\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}}{4} \end{align*}\]ואם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[ \left\langle v\mid w\right\rangle =\frac{\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}-i\cdot\left(\left\Vert v+i\cdot w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-i\cdot w\right\Vert ^{2}\right)}{4} \]
אם \(\MKfield=\MKreal\) אז לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} \left\langle v\mid w\right\rangle & =\frac{\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left(\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}\right)}{2}\\ \left\langle v\mid w\right\rangle & =\frac{\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}}{4} \end{align*}\]ואם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[ \left\langle v\mid w\right\rangle =\frac{\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}-i\cdot\left(\left\Vert v+i\cdot w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-i\cdot w\right\Vert ^{2}\right)}{4} \]
הוכחה. יהיו \(v,w\in V\), מחוק המקבילית נובע שמתקיים:\[\begin{align*}
\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v\right\Vert ^{2}-\left\Vert w\right\Vert ^{2} & =\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}\\
& =\left\langle v\mid v\right\rangle +\left\langle w\mid w\right\rangle -\left\langle v-w\mid v-w\right\rangle \\
& ={\color{red}\left\langle v\mid v\right\rangle +\left\langle w\mid w\right\rangle }-\left({\color{red}\left\langle v\mid v\right\rangle }-\left\langle v\mid w\right\rangle -\left\langle w\mid v\right\rangle +{\color{red}\left\langle w\mid w\right\rangle }\right)\\
& =\left\langle v\mid w\right\rangle +\left\langle w\mid v\right\rangle
\end{align*}\]\[\begin{align*}
\Rightarrow\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert ^{2} & =2\cdot\left(\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}\right)-2\cdot\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}\\
& =2\cdot\left(\left\Vert v\right\Vert ^{2}+\left\Vert w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}\right)\\
& =2\cdot\left(\left\langle v\mid w\right\rangle +\left\langle w\mid v\right\rangle \right)
\end{align*}\]
- נניח ש-\(\MKfield=\MKreal\), כלומר \(\left\langle v\mid w\right\rangle =\left\langle w\mid v\right\rangle \) ולכן:\[\begin{align*} \left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v\right\Vert ^{2}-\left\Vert w\right\Vert ^{2} & =2\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle \\ \left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert ^{2} & =4\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle \end{align*}\]וממילא:\[\begin{align*} \left\langle v\mid w\right\rangle & =\frac{\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v\right\Vert ^{2}-\left\Vert w\right\Vert ^{2}}{2}\\ \left\langle v\mid w\right\rangle & =\frac{\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}}{4} \end{align*}\]
- נניח ש-\(\MKfield=\MKcomplex\), אם כן ע"פ מה שהוכחנו לעיל מתקיים:\[\begin{align*} -i\cdot\left(\left\Vert v+i\cdot w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-i\cdot w\right\Vert ^{2}\right) & =-i\cdot2\cdot\left(\left\langle v\mid i\cdot w\right\rangle +\left\langle i\cdot w\mid v\right\rangle \right)\\ & =-i\cdot2\cdot\left(i\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle -i\cdot\left\langle w\mid v\right\rangle \right)\\ & =2\cdot\left(-i^{2}\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle +i^{2}\cdot\left\langle w\mid v\right\rangle \right)\\ & =2\cdot\left(\left\langle v\mid w\right\rangle -\left\langle w\mid v\right\rangle \right) \end{align*}\]\[ \Rightarrow\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}-i\cdot\left(\left\Vert v+i\cdot w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-i\cdot w\right\Vert ^{2}\right)=2\cdot\left(\left\langle v\mid w\right\rangle +{\color{red}\left\langle w\mid v\right\rangle }+\left\langle v\mid w\right\rangle {\color{red}-\left\langle w\mid v\right\rangle }\right)=4\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle \]\[ \Rightarrow\left\langle v\mid w\right\rangle =\frac{\left\Vert v+w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-w\right\Vert ^{2}-i\cdot\left(\left\Vert v+i\cdot w\right\Vert ^{2}-\left\Vert v-i\cdot w\right\Vert ^{2}\right)}{4} \]
מסקנה 3.15. תהא \(S:V\rightarrow W\) ונסמן ב-\(\left\Vert \cdot\right\Vert _{V}\) וב-\(\left\Vert \cdot\right\Vert _{W}\) את הנורמות של \(V\) ו-\(W\).
שלושת התנאים הבאים שקולים זה לזה:
שלושת התנאים הבאים שקולים זה לזה:
- \(S\) אוניטרית.
- לכל \(v\in V\) מתקיים \(\left\Vert S\left(v\right)\right\Vert _{W}=\left\Vert v\right\Vert _{V}\).
- לכל \(v_{1},v_{2}\in V\) מתקיים \(\left\Vert S\left(v_{1}-v_{2}\right)\right\Vert _{W}=\left\Vert v_{1}-v_{2}\right\Vert _{V}\).
הוכחה. העובדה שסעיף1גורר את סעיף2נובעת ישירות מהגדרת העתקה אורתוגונלית ומהגדרת הנורמה, סעיף2ו-3הם מקרים פרטיים זה של זה25ברור למה3הוא מקרה פרטי של2, כדי לראות את הכיוון ההפוך נציב בסעיף3את \(v_{2}=0_{V}\). ולכן כל מה שנותר לנו הוא להוכיח שסעיף2גורר את סעיף1.
נניח שלכל \(v\in V\) מתקיים \(\left\Vert S\left(v\right)\right\Vert _{W}=\left\Vert v\right\Vert _{V}\), מנוסחת הפולריזציה נובע שאם \(\MKfield=\MKreal\) אז לכל \(v_{1},v_{2}\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} \left\langle v_{1}\mid v_{2}\right\rangle _{V} & =\frac{\left(\left\Vert v_{1}+v_{2}\right\Vert _{V}\right)^{2}-\left(\left\Vert v_{1}\right\Vert _{V}\right)^{2}-\left(\left\Vert V_{2}\right\Vert _{2}\right)^{2}}{2}\\ & =\frac{\left(\left\Vert S\left(v_{1}+v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}}{2}\\ & =\frac{\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)+S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}}{2}=\left\langle S\left(v_{1}\right)\mid S\left(v_{2}\right)\right\rangle _{W} \end{align*}\]ואם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז לכל \(v_{1},v_{2}\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} \left\langle v_{1}\mid v_{2}\right\rangle _{V} & =\frac{\left(\left\Vert v_{1}+v_{2}\right\Vert _{V}\right)^{2}-\left(\left\Vert v_{1}-v_{2}\right\Vert _{V}\right)^{2}-i\cdot\left(\left(\left\Vert v_{1}+i\cdot v_{2}\right\Vert _{V}\right)^{2}-\left(\left\Vert v_{1}-i\cdot v_{2}\right\Vert _{V}\right)^{2}\right)}{4}\\ & =\frac{\left(\left\Vert S\left(v_{1}+v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{1}-v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-i\cdot\left(\left(\left\Vert S\left(v_{1}+i\cdot v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{1}-i\cdot v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}\right)}{4}\\ & =\frac{\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)+S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)-S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-i\cdot\left(\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)+i\cdot S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)-i\cdot S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}\right)}{4}\\ & =\left\langle S\left(v_{1}\right)\mid S\left(v_{2}\right)\right\rangle _{W} \end{align*}\]
נניח שלכל \(v\in V\) מתקיים \(\left\Vert S\left(v\right)\right\Vert _{W}=\left\Vert v\right\Vert _{V}\), מנוסחת הפולריזציה נובע שאם \(\MKfield=\MKreal\) אז לכל \(v_{1},v_{2}\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} \left\langle v_{1}\mid v_{2}\right\rangle _{V} & =\frac{\left(\left\Vert v_{1}+v_{2}\right\Vert _{V}\right)^{2}-\left(\left\Vert v_{1}\right\Vert _{V}\right)^{2}-\left(\left\Vert V_{2}\right\Vert _{2}\right)^{2}}{2}\\ & =\frac{\left(\left\Vert S\left(v_{1}+v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}}{2}\\ & =\frac{\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)+S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}}{2}=\left\langle S\left(v_{1}\right)\mid S\left(v_{2}\right)\right\rangle _{W} \end{align*}\]ואם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז לכל \(v_{1},v_{2}\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} \left\langle v_{1}\mid v_{2}\right\rangle _{V} & =\frac{\left(\left\Vert v_{1}+v_{2}\right\Vert _{V}\right)^{2}-\left(\left\Vert v_{1}-v_{2}\right\Vert _{V}\right)^{2}-i\cdot\left(\left(\left\Vert v_{1}+i\cdot v_{2}\right\Vert _{V}\right)^{2}-\left(\left\Vert v_{1}-i\cdot v_{2}\right\Vert _{V}\right)^{2}\right)}{4}\\ & =\frac{\left(\left\Vert S\left(v_{1}+v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{1}-v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-i\cdot\left(\left(\left\Vert S\left(v_{1}+i\cdot v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{1}-i\cdot v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}\right)}{4}\\ & =\frac{\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)+S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)-S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-i\cdot\left(\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)+i\cdot S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}-\left(\left\Vert S\left(v_{1}\right)-i\cdot S\left(v_{2}\right)\right\Vert _{W}\right)^{2}\right)}{4}\\ & =\left\langle S\left(v_{1}\right)\mid S\left(v_{2}\right)\right\rangle _{W} \end{align*}\]
משפט 3.16. תהא \(S:V\rightarrow W\) ונניח ש-\(V\) נ"ס, שלושת התנאים הבאים שקולים זה לזה:
- \(S\) אוניטרית.
- לכל בסיס אורתונורמלי \(U:=\left\{ u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right\} \) של \(V\) גם \(S\left(U\right)=\left\{ S\left(u_{1}\right),S\left(u_{2}\right),\ldots,S\left(u_{n}\right)\right\} \) היא קבוצה אורתונורמלית ב-\(W\).
- קיים בסיס אורתונורמלי \(U:=\left\{ u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right\} \) של \(V\) כך ש-\(S\left(U\right)=\left\{ S\left(u_{1}\right),S\left(u_{2}\right),\ldots,S\left(u_{n}\right)\right\} \) היא קבוצה אורתונורמלית ב-\(W\).
הוכחה. סעיף1גורר את סעיף2ישירות מהגדרת העתקה אורתוגונלית, ומכיוון שיש ל-\(V\) בסיס אורתונורמלי גם סעיף2גורר את סעיף3; אם כן נותר לנו להוכיח שסעיף3גורר את סעיף1.
נניח שקיים בסיס אורתונורמלי \(U\) של \(V\) כך ש-\(S\left(U\right)\) הוא בסיס אורתונורמלי של \(W\) ויהי \(\left\{ u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right\} \) בסיס כנ"ל, ע"פ משפט 1.12 וזהות פרסבל מתקיים (לכל \(v_{1},v_{2}\in V\)):\[\begin{align*} \left\langle S\left({\color{blue}v_{1}}\right)\mid S\left({\color{green}v_{2}}\right)\right\rangle _{W} & =\left\langle \begin{array}{c|c} \begin{alignedat}{1}S\left(\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid{\color{blue}v_{1}}\right\rangle _{V}\cdot u_{i}\right)\end{alignedat} & \begin{alignedat}{1}S\left(\sum_{j=1}^{n}\left\langle u_{j}\mid{\color{green}v_{2}}\right\rangle _{V}\cdot u_{j}\right)\end{alignedat} \end{array}\right\rangle _{W}\\ & =\left\langle \begin{array}{c|c} \begin{alignedat}{1}\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid{\color{blue}v_{1}}\right\rangle _{V}\cdot S\left(u_{i}\right)\end{alignedat} & \begin{alignedat}{1}\sum_{j=1}^{n}\left\langle u_{j}\mid{\color{green}v_{2}}\right\rangle _{V}\cdot S\left(u_{j}\right)\end{alignedat} \end{array}\right\rangle _{W}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}\overline{\left\langle u_{i}\mid{\color{blue}v_{1}}\right\rangle _{V}}\cdot\left\langle u_{j}\mid{\color{green}v_{2}}\right\rangle _{V}\cdot\left\langle S\left(u_{i}\right)\mid S\left(u_{j}\right)\right\rangle \right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}\overline{\left\langle u_{i}\mid{\color{blue}v_{1}}\right\rangle _{V}}\cdot\left\langle u_{j}\mid{\color{green}v_{2}}\right\rangle _{V}\cdot\delta_{ij}\right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\overline{\left\langle u_{i}\mid{\color{blue}v_{1}}\right\rangle _{V}}\cdot\left\langle u_{i}\mid{\color{green}v_{2}}\right\rangle _{V}=\left\langle {\color{blue}v_{1}}\mid{\color{green}v_{2}}\right\rangle _{V} \end{align*}\]
נניח שקיים בסיס אורתונורמלי \(U\) של \(V\) כך ש-\(S\left(U\right)\) הוא בסיס אורתונורמלי של \(W\) ויהי \(\left\{ u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right\} \) בסיס כנ"ל, ע"פ משפט 1.12 וזהות פרסבל מתקיים (לכל \(v_{1},v_{2}\in V\)):\[\begin{align*} \left\langle S\left({\color{blue}v_{1}}\right)\mid S\left({\color{green}v_{2}}\right)\right\rangle _{W} & =\left\langle \begin{array}{c|c} \begin{alignedat}{1}S\left(\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid{\color{blue}v_{1}}\right\rangle _{V}\cdot u_{i}\right)\end{alignedat} & \begin{alignedat}{1}S\left(\sum_{j=1}^{n}\left\langle u_{j}\mid{\color{green}v_{2}}\right\rangle _{V}\cdot u_{j}\right)\end{alignedat} \end{array}\right\rangle _{W}\\ & =\left\langle \begin{array}{c|c} \begin{alignedat}{1}\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid{\color{blue}v_{1}}\right\rangle _{V}\cdot S\left(u_{i}\right)\end{alignedat} & \begin{alignedat}{1}\sum_{j=1}^{n}\left\langle u_{j}\mid{\color{green}v_{2}}\right\rangle _{V}\cdot S\left(u_{j}\right)\end{alignedat} \end{array}\right\rangle _{W}\\ & =\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}\overline{\left\langle u_{i}\mid{\color{blue}v_{1}}\right\rangle _{V}}\cdot\left\langle u_{j}\mid{\color{green}v_{2}}\right\rangle _{V}\cdot\left\langle S\left(u_{i}\right)\mid S\left(u_{j}\right)\right\rangle \right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{j=1}^{n}\overline{\left\langle u_{i}\mid{\color{blue}v_{1}}\right\rangle _{V}}\cdot\left\langle u_{j}\mid{\color{green}v_{2}}\right\rangle _{V}\cdot\delta_{ij}\right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\overline{\left\langle u_{i}\mid{\color{blue}v_{1}}\right\rangle _{V}}\cdot\left\langle u_{i}\mid{\color{green}v_{2}}\right\rangle _{V}=\left\langle {\color{blue}v_{1}}\mid{\color{green}v_{2}}\right\rangle _{V} \end{align*}\]
משפט 3.17. נניח ש-\(V\) ו-\(W\) נ"ס בעלי ממד זהה ותהא \(f:V\rightarrow W\) פונקציה.
אם \(f\) מקיימת את שני התנאים הבאים אז \(f\) היא העתקה ליניארית אוניטרית הפיכה, שני התנאים הם:
אם \(f\) מקיימת את שני התנאים הבאים אז \(f\) היא העתקה ליניארית אוניטרית הפיכה, שני התנאים הם:
- קיים בסיס אורתונורמלי \(U:=\left\{ u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right\} \) של \(V\) כך ש-\(f\left(U\right)=\left\{ f\left(u_{1}\right),f\left(u_{2}\right),\ldots,f\left(u_{n}\right)\right\} \) היא בסיס אורתונורמלי של \(W\).
- לכל \(v_{1},v_{2}\in V\) מתקיים \(\left\langle f\left(v_{1}\right)\mid f\left(v_{2}\right)\right\rangle _{W}=\left\langle v_{1}\mid v_{2}\right\rangle _{V}\).
הוכחה. נניח ש-\(f\) מקיימת את שני התנאים ויהי \(U:=\left\{ u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right\} \) בסיס אורתונורמלי של \(V\) כך ש-\(f\left(U\right)\) הוא בסיס אורתונורמלי של \(W\).
מההנחה וממשפט 1.12 נובע שלכל \(v\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} v & =\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle _{V}\cdot u_{i}\\ f\left(v\right) & =\sum_{i=1}^{n}\left\langle f\left(u_{i}\right)\mid f\left(v\right)\right\rangle _{W}\cdot f\left(u_{i}\right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right) \end{align*}\]מכאן שלכל \(v,v_{0}\in V\) ולכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים:\[\begin{align*} f\left(v+v_{0}\right) & =\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v+v_{0}\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle _{V}+\left\langle u_{i}\mid v_{0}\right\rangle _{V}\right)\cdot f\left(u_{i}\right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v_{0}\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right)=f\left(v\right)+f\left(v_{0}\right)\\ f\left(\lambda\cdot v\right) & =\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid\lambda\cdot v\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\lambda\cdot\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right)\\ & =\lambda\cdot\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right)=\lambda\cdot f\left(v\right) \end{align*}\]
מההנחה וממשפט 1.12 נובע שלכל \(v\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} v & =\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle _{V}\cdot u_{i}\\ f\left(v\right) & =\sum_{i=1}^{n}\left\langle f\left(u_{i}\right)\mid f\left(v\right)\right\rangle _{W}\cdot f\left(u_{i}\right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right) \end{align*}\]מכאן שלכל \(v,v_{0}\in V\) ולכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים:\[\begin{align*} f\left(v+v_{0}\right) & =\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v+v_{0}\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle _{V}+\left\langle u_{i}\mid v_{0}\right\rangle _{V}\right)\cdot f\left(u_{i}\right)\\ & =\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v_{0}\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right)=f\left(v\right)+f\left(v_{0}\right)\\ f\left(\lambda\cdot v\right) & =\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid\lambda\cdot v\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right)=\sum_{i=1}^{n}\lambda\cdot\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right)\\ & =\lambda\cdot\sum_{i=1}^{n}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle _{V}\cdot f\left(u_{i}\right)=\lambda\cdot f\left(v\right) \end{align*}\]
3.3 אופרטורים אוניטריים
יהי \(f:V\rightarrow V\) אופרטור אוניטרי.
טענה 3.18. מתקיים \(\sigma\left(f\right)\subseteq\left\{ z\in\MKfield:\left|z\right|=1\right\} \).
- \(\clubsuit\)
- כלומר אם \(\MKfield=\MKreal\) ו-\(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) אז \(\lambda=\pm1\), ואם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז הספקטרום של \(f\) מוכל במעגל היחידה המרוכב.
- \(\clubsuit\)
- חשוב לזכור שאם \(\MKfield=\MKreal\) אז ייתכן ש-\(\sigma\left(f\right)=\emptyset\).
- \(\clubsuit\)
- אם \(\MKfield=\MKreal\) אז המשפט יכול להתקיים רק כאשר \(\sigma\left(f\right)=\left\{ -1,1\right\} \) ואז \(V_{1}\perp V_{-1}\).
- \(\clubsuit\)
- ממשפט 3.12 ומהעובדה שהדטרמיננטה של מטריצה אורתוגונלית היא \(\pm1\) נובע שניתן למיין את האופרטורים האורתוגונליים על מרחבים אוקלידיים ע"פ פעולתם על מרחבים מממד \(1\) או \(2\), כלומר ע"פ המטריצות המייצגות שלהם על מרחבים כאלו.
נניח ש-\(f\) אורתוגונלי ו-\(V\) מממד \(1\) או \(2\).- נניח ש-\(\dim V=1\) ויהי \(0_{V}\neq v\in V\) (\(\left\{ v\right\} \) הוא בסיס של \(V\)), ראינו ש-\(\sigma\left(f\right)\subseteq\left\{ -1,1\right\} \) ומכיוון שבממד \(1\) אופרטור הוא פשוט כפל בסקלר נובע מכאן ש-\(f\left(v\right)=\pm v\), כלומר \(f=\MKid_{V}\) או ש-\(f=-\MKid_{V}\) (שיקוף דרך הראשית).
- נניח ש-\(\dim V=2\) ויהי \(U\) בסיס אורתונורמלי של \(V\), נגדיר:\[
A:=\left[\begin{array}{cc}
c & a\\
s & b
\end{array}\right]:=\left[f\right]_{U}
\]מכיוון שסדרת העמודות של \(A\) היא אורתונורמלית נדע שמתקיים:\[\begin{align*}
1 & =c^{2}+s^{2}\\
1 & =a^{2}+b^{2}\\
0 & =ac+bs
\end{align*}\]נניח בהג"כ ש-\(c\neq0\),\[\begin{align*}
& \Rightarrow a=-\frac{bs}{c}\\
& \Rightarrow1=\left(-\frac{bs}{c}\right)^{2}+b^{2}\\
& \Rightarrow1=b^{2}\cdot\left(1+\frac{s^{2}}{c^{2}}\right)=b^{2}\cdot\frac{c^{2}+s^{2}}{c^{2}}=b^{2}\cdot\frac{1}{c^{2}}\\
& \Rightarrow b^{2}=c^{2}\Rightarrow b=\pm c\Rightarrow a=\mp s
\end{align*}\]אם כן ישנן שתי אפשרויות:\[
A=\left[\begin{array}{cc}
c & -s\\
s & c
\end{array}\right],\ A=\left[\begin{array}{cc}
c & s\\
s & -c
\end{array}\right]
\]נזכור ש-\(\det A=\pm1\) ונשים לב שהאפשרות הראשונה מתאימה עבור \(\det A=1\):\[
\det A=c^{2}-\left(-s\right)\cdot s=c^{2}+s^{2}=1
\]ואילו השנייה מתאימה עבור \(\det A=-1\):\[
\det A=c\cdot\left(-c\right)-s^{2}=-\left(c^{2}+s^{2}\right)=-1
\]על כל פנים מהשוויון \(1=c^{2}+s^{2}\) נובע שקיימת \(\theta\in\left[0,2\pi\right)\) כך ש-\(c=\cos\theta\) ו-\(s=\sin\theta\)26הגרירה נובעת ממשפט פיתגורס ההפוך: אם משולש מקיים את השוויון \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) (כאשר \(a,b,c\) הן אורכי הצלעות של המשולש) אז הוא ישר זווית (ו-\(c\) הוא אורך היתר), העובדה שניתן לבנות מצלעות באורכים אלו משולש כלשהו נובעת מזה שהשוויון גורר את \(c+a>b\), את \(c+b>a\) ואת \(a+b>c\) (ראו מה שכתבתי על כך בהסבר על שמו של א"ש המשולש בסיכום הקורס אינפי'1)., כלומר נקבל את אחת משתי האפשרויות:\[
A=\left[\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right],\ A=\left[\begin{array}{cc}
\cos\theta & \sin\theta\\
\sin\theta & -\cos\theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}
1 & 0\\
0 & -1
\end{array}\right]
\]האפשרות הראשונה היא סיבוב ב-\(\theta\) רדיאנים נגד כיוון השעון והשנייה היא שיקוף ביחס לציר ה-\(x\) ואז סיבוב ב-\(\theta\) רדיאנים נגד כיוון השעון (נזכור שהכפלת מטריצות שקולה להרכבה), למעשה ניתן להציג את השנייה כשיקוף דרך הישר \(y=\frac{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}\cdot x=\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)\cdot x\) (אם \(\theta=\pi\) אז מדובר בשיקוף דרך ציר ה-\(y\)).
לסיכום: כל האופרטורים האורתוגונליים על מרחבים אוקלידיים מתפרקים לסיבובים (אם הדטרמיננטה היא \(1\)) ושיקופים (אם הדטרמיננטה היא \(-1\)) על תתי-מרחבים שמורים מממד \(1\) או \(2\).
- \(\clubsuit\)
- אם \(A\) היא מטריצת סיבוב אז אין לה ערכים עצמיים אלא אם \(\theta=0\) (מדובר במטריצת היחידה ולכן \(\sigma\left(A\right)=\left\{ 1\right\} \)) או ש-\(\theta=\pi\) (מדובר במטריצה הנגדית של מטריצה היחידה ולכן \(\sigma\left(A\right)=\left\{ -1\right\} \));
אם \(A\) היא מטריצת שיקוף אז \(\sigma\left(A\right)=\left\{ -1,1\right\} \) משום שציר השיקוף מועתק לעצמו והציר המאונך מועתק לנגדי שלו:\[\begin{align*} \left[\begin{array}{cc} \cos\left(\theta\right) & \sin\left(\theta\right)\\ \sin\left(\theta\right) & -\cos\left(\theta\right) \end{array}\right]\cdot\begin{bmatrix}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}\cos\left(\theta\right)\cdot\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)+\sin\left(\theta\right)\cdot\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ \sin\left(\theta\right)\cdot\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)-\cos\left(\theta\right)\cdot\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\left(\theta-\frac{\theta}{2}\right)\\ \sin\left(\theta-\frac{\theta}{2}\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{bmatrix}\\ \left[\begin{array}{cc} \cos\left(\theta\right) & \sin\left(\theta\right)\\ \sin\left(\theta\right) & -\cos\left(\theta\right) \end{array}\right]\cdot\begin{bmatrix}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ -\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{bmatrix} & =\begin{bmatrix}\cos\left(\theta\right)\cdot\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)-\sin\left(\theta\right)\cdot\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ \sin\left(\theta\right)\cdot\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)+\cos\left(\theta\right)\cdot\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sin\left(\theta-\frac{\theta}{2}\right)\\ \cos\left(\theta-\frac{\theta}{2}\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\\ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{bmatrix} \end{align*}\]
הוכחה. נניח ש-\(\sigma\left(f\right)\neq\emptyset\) (אחרת הטענה טריוויאלית) ויהי \(v\in V\) וקטור עצמי של \(f\) בעל ערך עצמי \(\lambda\in\MKfield\) (מהגדרה \(v\neq0_{V}\) ולכן \(\left\langle v\mid v\right\rangle \neq0\)).\[
\Rightarrow\left\langle v\mid v\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(v\right)\right\rangle =\left\langle \lambda\cdot v\mid\lambda\cdot v\right\rangle =\overline{\lambda}\cdot\lambda\cdot\left\langle v\mid v\right\rangle
\]\[
\Rightarrow\left|\lambda\right|^{2}=\overline{\lambda}\cdot\lambda=\frac{\left\langle v\mid v\right\rangle }{\left\langle v\mid v\right\rangle }=1
\]כעת נזכור שמהגדרת הערך המוחלט \(0\leq\left|\lambda\right|\in\MKreal\) ולכן מהעובדה ש-\(\left|\lambda\right|^{2}=1\) נובע ש-\(\left|\lambda\right|=1\).
משפט 3.19. לכל \(\lambda,\mu\in\sigma\left(f\right)\) כך ש-\(\lambda\neq\mu\) מתקיים \(V_{\lambda}\perp V_{\mu}\).
הוכחה. נניח של-\(f\) יש שני ערכים עצמיים שונים \(\lambda\) ו-\(\mu\) ויהיו \(v\in V_{\lambda}\) ו-\(w\in V_{\mu}\).\[
\Rightarrow\left\langle v\mid w\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle \lambda\cdot v\mid\mu\cdot w\right\rangle =\overline{\lambda}\cdot\mu\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle
\]ראינו כבר ש-\(\ker f=\left\{ 0_{V}\right\} \) ולכן \(0\notin\sigma\left(f\right)\) - כלומר \(\lambda\neq0\) ו-\(\mu\neq0\) - ומכאן שגם \(\overline{\lambda}\cdot\mu\neq0\).
נניח בשלילה ש-\(\left\langle v\mid w\right\rangle \neq0\) וממילא \(\overline{\lambda}\cdot\mu=1\).\[ \Rightarrow\mu=\frac{1}{\overline{\lambda}}=\frac{\lambda}{\overline{\lambda}\cdot\lambda}=\frac{\lambda}{\left|\lambda\right|^{2}}=\lambda \]בסתירה לכך ש-\(\lambda\neq\mu\), מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(\left\langle v\mid w\right\rangle =0\) כלומר \(v\perp w\).
\(v\) ו-\(w\) הנ"ל היו שרירותיים ולכן \(V_{\lambda}\perp V_{\mu}\).
נניח בשלילה ש-\(\left\langle v\mid w\right\rangle \neq0\) וממילא \(\overline{\lambda}\cdot\mu=1\).\[ \Rightarrow\mu=\frac{1}{\overline{\lambda}}=\frac{\lambda}{\overline{\lambda}\cdot\lambda}=\frac{\lambda}{\left|\lambda\right|^{2}}=\lambda \]בסתירה לכך ש-\(\lambda\neq\mu\), מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(\left\langle v\mid w\right\rangle =0\) כלומר \(v\perp w\).
\(v\) ו-\(w\) הנ"ל היו שרירותיים ולכן \(V_{\lambda}\perp V_{\mu}\).
נניח ש-\(V\) נ"ס.
משפט 3.20. יהי \(U\subseteq V\) תמ"ו, אם \(U\) שמור תחת \(f\) אז גם \(U^{\perp}\) שמור תחת \(f\).
הוכחה. נניח ש-\(U\) שמור תחת \(f\) ויהי \(v\in U^{\perp}\).
\(f\) הפיך ולכן גם \(f\mid_{U}\) הפיך, מכאן שלכל \(u\in U\) קיים \(u'\in U\) כך ש-\(f\left(u'\right)=u\) ולכן גם:\[ \left\langle f\left(v\right)\mid u\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(u'\right)\right\rangle =\left\langle v\mid u'\right\rangle =0 \]אם כן \(f\left(v\right)\in U^{\perp}\) ומהגדרה \(U^{\perp}\) שמור תחת \(f\).
\(f\) הפיך ולכן גם \(f\mid_{U}\) הפיך, מכאן שלכל \(u\in U\) קיים \(u'\in U\) כך ש-\(f\left(u'\right)=u\) ולכן גם:\[ \left\langle f\left(v\right)\mid u\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(u'\right)\right\rangle =\left\langle v\mid u'\right\rangle =0 \]אם כן \(f\left(v\right)\in U^{\perp}\) ומהגדרה \(U^{\perp}\) שמור תחת \(f\).
משפט 3.21. קיימת סדרת תתי-מרחבים \(\left(W_{1},W_{2},\ldots,W_{r}\right)\) שמורים תחת \(f\) כך שמתקיים:
- \(W_{i}\perp W_{j}\) לכל \(r\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\).
- \(V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus\ldots\oplus W_{r}\).
- תלוי במקרה:
- אם \(\MKfield=\MKreal\) אז \(\dim\left(W_{i}\right)=1\) או ש-\(\dim\left(W_{i}\right)=2\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
- אם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז \(\dim\left(W_{i}\right)=1\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
הוכחה. נוכיח את הטענה באינדוקציה על הממד של \(V\), אם \(\dim V=1\) הטענה טריוויאלית לכן נעבור ישירות לצעד האינדוקציה.
נניח שהטענה מתקיימת לכל ממ"פ נ"ס מממד קטן ממש מ-\(\dim V\), ראינו בחלק שעסק באופרטורים שאם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז יש ל-\(f\) תמ"ו שמור ממימד \(1\) ואם \(\MKfield=\MKreal\) אז יש ל-\(f\) תמ"ו שמור ממימד \(1\) או \(2\) - יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו כזה.
מהעובדה ש-\(V=W\oplus W^{\perp}\) נובע ש-\(\dim W^{\perp}=\dim V-\dim W\leq\dim V-1\), אם כן הנחת האינדוקציה מתקיימת עבור \(W^{\perp}\).
תהא \(\left(W_{1},W_{2},\ldots,W_{r}\right)\) סדרת תתי-מרחבים המקיימת את הנדרש עבור \(W^{\perp}\), מכאן ש-\(\left(W_{1},W_{2},\ldots,W_{r},W\right)\) היא סדרת תתי-מרחבים המקיימת את הנדרש עבור \(V\):
נניח שהטענה מתקיימת לכל ממ"פ נ"ס מממד קטן ממש מ-\(\dim V\), ראינו בחלק שעסק באופרטורים שאם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז יש ל-\(f\) תמ"ו שמור ממימד \(1\) ואם \(\MKfield=\MKreal\) אז יש ל-\(f\) תמ"ו שמור ממימד \(1\) או \(2\) - יהי \(W\subseteq V\) תמ"ו כזה.
מהעובדה ש-\(V=W\oplus W^{\perp}\) נובע ש-\(\dim W^{\perp}=\dim V-\dim W\leq\dim V-1\), אם כן הנחת האינדוקציה מתקיימת עבור \(W^{\perp}\).
תהא \(\left(W_{1},W_{2},\ldots,W_{r}\right)\) סדרת תתי-מרחבים המקיימת את הנדרש עבור \(W^{\perp}\), מכאן ש-\(\left(W_{1},W_{2},\ldots,W_{r},W\right)\) היא סדרת תתי-מרחבים המקיימת את הנדרש עבור \(V\):
- מתקיים \(W_{i}\perp W_{j}\) לכל \(r\geq i,j\in\MKnatural\) כך ש-\(i\neq j\) מהגדרה ומתקיים \(W\perp W_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\) שכן \(W_{i}\subseteq W^{\perp}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
- מתקיים \(V=W\oplus W^{\perp}=W\oplus\left(W_{1}\oplus W_{2}\oplus\ldots\oplus W_{r}\right)=W\oplus W_{1}\oplus W_{2}\oplus\ldots\oplus W_{r}\).
- הגדרנו את \(W\) כך שיעמוד בתנאי השלישי ו-\(W_{i}\) מקיים את התנאי גם הוא ע"פ הגדרתו (לכל \(n\geq i\in\MKnatural\)).
מסקנה 3.22. אם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז \(f\) לכסין אוניטרית.
משפט 3.23. יהי \(g:V\rightarrow V\) אופרטור, \(g\) אוניטרי אם"ם לכל בסיס אורתונורמלי \(U\) של \(V\) המטריצה \(\left[g\right]_{U}\) היא מטריצה אוניטרית.
הוכחה. הגרירה מימין לשמאל נובעת ישירות ממסקנה 2.14 ומהקשר בין הרכבת העתקות ליניאריות לכפל מטריצות, לכן נוכיח רק את הגרירה בכיוון ההפוך.
נניח שלכל בסיס אורתונורמלי \(U\) של \(V\) המטריצה \(\left[g\right]_{U}\) היא מטריצה אוניטרית ויהי \(U\) בסיס אורתונורמלי.
לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} \left\langle g\left(v\right)\mid g\left(w\right)\right\rangle & =\left(\left[g\left(v\right)\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[g\left(w\right)\right]_{U}\\ & =\left(\left[g\right]_{U}\cdot\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[g\right]_{U}\cdot\left[w\right]_{U}\\ & =\left(\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left(\left[g\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[g\right]_{U}\cdot\left[w\right]_{U}\\ & =\left(\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot I_{n}\cdot\left[w\right]_{U}\\ & =\left(\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[w\right]_{U}=\left\langle v\mid w\right\rangle \end{align*}\]
נניח שלכל בסיס אורתונורמלי \(U\) של \(V\) המטריצה \(\left[g\right]_{U}\) היא מטריצה אוניטרית ויהי \(U\) בסיס אורתונורמלי.
לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} \left\langle g\left(v\right)\mid g\left(w\right)\right\rangle & =\left(\left[g\left(v\right)\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[g\left(w\right)\right]_{U}\\ & =\left(\left[g\right]_{U}\cdot\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[g\right]_{U}\cdot\left[w\right]_{U}\\ & =\left(\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left(\left[g\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[g\right]_{U}\cdot\left[w\right]_{U}\\ & =\left(\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot I_{n}\cdot\left[w\right]_{U}\\ & =\left(\left[v\right]_{U}\right)^{*}\cdot\left[w\right]_{U}=\left\langle v\mid w\right\rangle \end{align*}\]
משפט 3.24. תכונות של מטריצות אוניטריות
תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\).
תהא \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\).
- \(A\) אוניטרית אם"ם סדרת עמודותיה היא בסיס אורתונורמלי של \(\MKfield^{n}\) עם המכפלה הסקלרית.
- \(A\) אוניטרית אם"ם \(A^{*}\) אוניטרית.
- \(A\) אוניטרית אם"ם \(A\) הפיכה ובנוסף \(A^{-1}=A^{*}\).
- \(I_{n}\) אוניטרית.
- תהא \(B\in M_{n}\left(\MKreal\right)\) מטריצה אוניטרית, גם \(A\cdot B\) אוניטרית; כלומר קבוצת המטריצות האוניטריות מסדר \(n\) סגורה לכפל מטריצות.
- קבוצת המטריצות האוניטריות מסדר \(n\), שתסומן ב-\(\text{O}\left(n\right)\), היא חבורה כאשר פעולת הכפל המתאימה היא כפל מטריצות.
- אם \(A\) אוניטרית אז \(\det A^{*}=\overline{\det A}\).
- אם \(A\) אוניטרית אז \(\left|\det A\right|=1\).
כלומר: אם \(\MKfield=\MKreal\) אז \(\det A=\pm1\), ואם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז \(\det A\) נמצא על מעגל היחידה המרוכב. - \(\text{SO}\left(n\right):=\left\{ A\in\text{O}\left(n\right)\mid\det A=1\right\} \) היא תת-חבורה של \(\text{O}\left(n\right)\).
- אם \(A\) אוניטרית אז \(\sigma\left(A\right)\subseteq\left\{ z\in\MKfield:\left|z\right|=1\right\} \).
כלומר: אם \(\MKfield=\MKreal\) ו-\(\lambda\in\sigma\left(A\right)\) אז \(\lambda=\pm1\), ואם \(\MKfield=\MKcomplex\) אז הספקטרום של \(A\) מוכל במעגל היחידה המרוכב. - אם \(A\) אוניטרית אז לכל \(\lambda,\mu\in\sigma\left(A\right)\) כך ש-\(\lambda\neq\mu\) מתקיים \(V_{\lambda}\perp V_{\mu}\).
הוכחה. נוכיח רק את תכונות7ו-8, שאר התכונות נובעות מהתכונות המקבילות עבור אופרטורים אוניטריים או שהוסברו כבר בקובץ ההגדרות.
מתקיים:\[ 1=\det\left(I_{n}\right)=\det\left(A^{-1}\cdot A\right)={\color{red}\det A^{-1}}\cdot\det A={\color{red}\det A^{*}}\cdot\det A={\color{red}\overline{\det A^{t}}}\cdot\det A={\color{red}\overline{\det A}}\cdot\det A=\left|\det A\right|^{2} \]וכפי שהזכרנו בעבר נובע מזה ש-\(\left|\det A\right|=1\).
מתקיים:\[ 1=\det\left(I_{n}\right)=\det\left(A^{-1}\cdot A\right)={\color{red}\det A^{-1}}\cdot\det A={\color{red}\det A^{*}}\cdot\det A={\color{red}\overline{\det A^{t}}}\cdot\det A={\color{red}\overline{\det A}}\cdot\det A=\left|\det A\right|^{2} \]וכפי שהזכרנו בעבר נובע מזה ש-\(\left|\det A\right|=1\).
מסקנה 3.25. אם \(f\) אופרטור אורתוגונלי אז קיים בסיס אורתונורמלי \(U\) של \(V\) כך שמתקיים:\[
\left[f\right]_{U}=\left[\begin{array}{cccccc}
I_{p} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & -I_{q} & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & A_{1} & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & A_{2} & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & \ddots & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & A_{r}
\end{array}\right]
\]כאשר \(A_{i}=\left[\begin{array}{cc}
\cos\theta_{i} & -\sin\theta_{i}\\
\sin\theta_{i} & \cos\theta_{i}
\end{array}\right]\) עבור \(\theta_{i}\in\left(0,2\pi\right)\setminus\left\{ \pi\right\} \) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\), \(p=\dim V_{1}\), \(q=\dim V_{-1}\)27בכל שיקוף ציר השיקוף כלול ב-\(V_{1}\) והציר המאונך לו כלול ב-\(V_{-1}\), בסיבוב ב-\(0\) רדיאנים כל התמ"ו השמור כלול ב-\(V_{1}\). ו-\(p+q+2r=\dim V\).
\(\:\)
4 אופרטורים נורמליים ואופרטורים הרמיטיים
4.1 הגדרות
- \(\clubsuit\)
- בקובץ הטענות ראינו בפרק הקודם שאופרטור אורתוגונלי אינו לכסין בהכרח מפני שבמקרים מסוימים יש לו תתי-מרחבים שמורים שעליהם הוא פועל כאופרטור סיבוב, לעומתו ראינו שם שכל אופרטור אוניטרי מעל המרוכבים דווקא לכסין תמיד. הסיבה להבדל הזה היא שבעוד שבממשיים אי אפשר לתאר סיבוב ככפל בסקלר הרי שבמרוכבים כל כפל בסקלר הוא סיבוב ומתיחה של המרחב, בואו נתבונן בזה מקרוב.
כשהגדרנו את המרוכבים אמרנו ש-\(\MKcomplex\) הוא \(\MKreal^{2}\) עם פעולת החיבור הווקטורי שלו שעליו אנו מגדירים פעולת כפל חדשה:\[ \begin{bmatrix}c\\ s \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}:=\left(c+is\right)\left(x+iy\right)=\left(cx+sy\right)+i\cdot\left(sx+cy\right)=\begin{bmatrix}cx-sy\\ sx+cy \end{bmatrix}=\left[\begin{array}{cc} c & -s\\ s & c \end{array}\right]\cdot\begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix} \]כלומר כל פונקציית כפל בקבוע \(z\in\MKcomplex\)28יהי \(z\in\MKcomplex\) ותהא \(f_{z}:\MKcomplex\rightarrow\MKcomplex\) פונקציה המוגדרת ע"י \(f_{z}\left(w\right):=z\cdot w\) לכל \(w\in\MKcomplex\). שקולה כפל במטריצת הסיבוב והמתיחה \(r\cdot\left[\begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right]\) כאשר \(z=r\cdot\MKcis\theta\), עם קצת עבודה נוספת ניתן להראות שהשקילות הנ"ל מגדירה איזומורפיזם מ-\(\MKcomplex\) לקבוצת מטריצות הסיבוב והמתיחה על \(\MKreal^{2}\):\[ \left\{ \begin{array}{c|c} r\cdot\left[\begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{array}\right] & 0\leq r\in\MKreal,\ \end{array}\theta\in\left[0,2\pi\right)\right\} \]בשדה המרוכבים יש לנו שלוש קבוצות מיוחדות: הממשיים הטהורים, המדומים הטהורים ומעגל היחידה מרוכב, איך זה מתבטא במטריצת הסיבוב שלהם?
יהי \(z\in\MKcomplex\) ויהיו \(0\leq r\in\MKreal\) ו-\(\theta\in\left[0,2\pi\right)\) כך ש-\(z=r\cdot\MKcis\theta\),- אם \(z\) הוא ממשי טהור אז \(\theta=0\) או ש-\(\theta=\pi\) ולכן המטריצה המתאימה היא:\[ \left[\begin{array}{cc} \pm r & 0\\ 0 & \pm r \end{array}\right] \]נשים לב לכך שכל מטריצות הסיבוב הסימטריות מוכרחות להיות מהצורה הזו.
- אם \(z\) הוא מדומה טהור אז \(\theta=\frac{\pi}{2}\) או ש-\(\theta=\frac{3\pi}{2}\) ולכן המטריצה מתאימה היא:\[ \left[\begin{array}{cc} 0 & \mp r\\ \pm r & 0 \end{array}\right] \]נשים לב לכך שכל מטריצות הסיבוב האנטי-סימטריות מוכרחות להיות מהצורה הזו.
- אם \(z\) נמצא על מעגל היחידה המרוכב אז \(r=1\) ולכן המטריצה המתאימה היא:\[
\left[\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{array}\right]
\]נשים לב לכך שאלו כל מטריצות הסיבוב שאינן מבצעות מתיחה ובכך הן שומרות על הערך המוחלט של המספר המרוכב ועל הזוויות שלו ביחס למספרים מרוכבים אחרים.
אחד הדברים שמייחדים את מעגל היחידה המרוכב משאר המישור הוא שלכל איבר במעגל היחידה ההופכי שלו הוא גם הצמוד שלו, כעת הדמיון לעולם האופרטורים זועק לשמיים: לא רק שכבר ראינו שכל מטריצה כזו היא אופרטור אוניטרי על \(\MKreal^{2}\) אלא גם ההופכית שלה היא בדיוק המטריצה המתאימה לצמוד המרוכב ממש כמו שעבור אופרטור אוניטרי ההופכי שלו הוא האופרטור הצמוד.
האם גם לשתי הקבוצות הראשונות מקבילות לסוג מסוים של אופרטורים? - \(\clubsuit\)
- נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(f:V\rightarrow V\) אופרטור, \(f\) הוא אופרטור הרמיטי / צמוד לעצמו אם"ם לכל בסיס \(U\) אורתונורמלי המטריצה \(\left[f\right]_{U}\) הרמיטית / צמודה לעצמה.
- \(\clubsuit\)
- אופרטורים הרמיטיים הם סוג האופרטורים המקביל לממשיים טהורים - לכל מספר ממשי מתקיים \(\overline{z}=z\).
- \(\clubsuit\)
- נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(f:V\rightarrow V\) אופרטור, \(f\) הוא אופרטור אנטי-הרמיטי אם"ם לכל בסיס \(U\) אורתונורמלי המטריצה \(\left[f\right]_{U}\) אנטי-הרמיטית.
- \(\clubsuit\)
- אופרטורים אנטי-הרמיטיים הם סוג האופרטורים המקביל למדומים טהורים - לכל מספר מדומה \(z\in\MKcomplex\) מתקיים \(\overline{z}=-z\).
- \(\clubsuit\)
- כמו ש-\(\MKre\left(z\right)=\frac{z+\overline{z}}{2}\) ו-\(\MKim\left(z\right)=\frac{z-\overline{z}}{2}\) לכל \(z\in\MKcomplex\) כך גם \(\frac{f+f^{*}}{2}\) הוא אופרטור הרמיטי ו-\(\frac{f-f^{*}}{2}\) הוא אופרטור אנטי-הרמיטי לכל \(f\in\MKend\left(V\right)\), ובנוסף בשני המקרים מתקיים:\[\begin{align*} z & =\frac{z+\overline{z}}{2}+\frac{z-\overline{z}}{2}\\ f & =\frac{f+f^{*}}{2}+\frac{f-f^{*}}{2} \end{align*}\]כלומר כמו שניתן להציג כל מספר מרוכב כסכום של ממשי ומדומה כך ניתן להציג כל אופרטור כסכום של הרמיטי ואנטי-הרמיטי.
- \(\clubsuit\)
- נניח ש-\(V\) נ"ס ויהי \(f:V\rightarrow V\) אופרטור, \(f\) הוא אופרטור נורמלי אם"ם לכל בסיס \(U\) אורתונורמלי המטריצה \(\left[f\right]_{U}\) נורמלית.
- \(\clubsuit\)
- אופרטורים אוניטריים, הרמיטיים ואנטי-הרמיטיים הם בפרט אופרטורים נורמליים.
יהי \(V\) מרחב מכפלה פנימית מעל לשדה \(\MKfield\).
הגדרה 4.1. אופרטורים ומטריצות הרמיטיים
- אופרטור \(f:V\rightarrow V\) יקרא אופרטור הרמיטי או צמוד לעצמו אם \(f^{*}=f\) (אם \(\MKfield=\MKreal\) נאמר גם ש-\(f\) סימטרי).
- מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) תקרא מטריצה הרמיטית או צמודה לעצמה אם \(A^{*}=A\) (אם \(\MKfield=\MKreal\) אז \(A=A^{*}=A^{t}\) וכבר קראנו למטריצה כזו סימטרית).
משפט 4.2. אופרטורים ומטריצות אנטי-הרמיטיים
- אופרטור \(f:V\rightarrow V\) יקרא אופרטור אנטי-הרמיטי אם \(f^{*}=-f\) (אם \(\MKfield=\MKreal\) נאמר גם ש-\(f\) אנטי-סימטרי).
- מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) תקרא מטריצה אנטי-הרמיטית אם \(A^{*}=-A\) (אם \(\MKfield=\MKreal\) אז \(-A=A^{*}=A^{t}\) וכבר קראנו למטריצה כזו אנטי-סימטרית).
הגדרה 4.3. אופרטורים ומטריצות נורמליים
- אופרטור \(f:V\rightarrow V\) יקרא אופרטור נורמלי אם \(f\circ f^{*}=f^{*}\circ f\).
- מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKfield\right)\) תקרא מטריצה נורמלית אם \(A\cdot A^{*}=A^{*}\cdot A\).
האם גם לאופרטורים הנורמליים יש קבוצה מקבילה במרוכבים???
יהי \(V\) מרחב מכפלה פנימית מעל לשדה \(\MKfield\) ויהי \(f:V\rightarrow V\) אופרטור.
4.2 התחלה
משפט 4.4. שקילויות של אופרטורים נורמליים, הרמיטיים ואנטי-הרמיטיים
- \(f\) נורמלי אם"ם לכל \(v,w\in V\) מתקיים \(\left\langle f^{*}\left(v\right)\mid f^{*}\left(w\right)\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle \).
- \(f\) הרמיטי אם"ם לכל \(v,w\in V\) מתקיים \(\left\langle f\left(v\right)\mid w\right\rangle =\left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle \).
- \(f\) הרמיטי אם"ם לכל \(v,w\in V\) מתקיים \(\left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid w\right\rangle \).
- \(f\) אנטי-הרמיטי אם"ם לכל \(v,w\in V\) מתקיים \(\left\langle -f\left(v\right)\mid w\right\rangle =\left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle \).
- \(f\) אנטי-הרמיטי אם"ם לכל \(v,w\in V\) מתקיים \(\left\langle v\mid-f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid w\right\rangle \).
- נניח ש-\(V\) נ"ס,
- \(f\) נורמלי אם"ם לכל בסיס אורתונורמלי \(U\) של \(V\) המטריצה \(\left[f\right]_{U}\) היא מטריצה נורמלית.
- \(f\) הרמיטי אם"ם לכל בסיס אורתונורמלי \(U\) של \(V\) המטריצה \(\left[f\right]_{U}\) היא מטריצה הרמיטית.
- \(f\) אנטי-הרמיטי אם"ם לכל בסיס אורתונורמלי \(U\) של \(V\) המטריצה \(\left[f\right]_{U}\) היא מטריצה אנטי-הרמיטית.
הוכחה. \(\:\)
- לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[ \left\langle f^{*}\left(f\left(v\right)\right)\mid w\right\rangle =\left\langle v\mid f\left(f^{*}\left(w\right)\right)\right\rangle \Longleftrightarrow\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle f^{*}\left(v\right)\mid f^{*}\left(w\right)\right\rangle \]אם כן הוכחנו את הגרירה מימין לשמאל בסעיף 1, כדי להוכיח את הגרירה משמאל לימין נשים לב לכך שאם לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[ \left\langle f^{*}\left(f\left(v\right)\right)\mid w\right\rangle =\left\langle v\mid f\left(f^{*}\left(w\right)\right)\right\rangle \]אז מטענה 2.10 נובע ש-\(f^{*}\circ f=\left(f\circ f^{*}\right)^{*}\)והרי מתכונות הצמוד (סעיף3במשפט 2.11) מתקיים:\[ \left(f\circ f^{*}\right)^{*}=\left(f^{*}\right)^{*}\circ f^{*}=f\circ f^{*} \]
- סעיפים2-5הם מקרים פרטיים של טענה 2.10 ושל סעיף5במשפט 2.11 בהתאמה.
- סעיף6נובע ישירות ממסקנה 2.14 ומהקשר של הרכבת העתקות ליניאריות לכפל מטריצות.
משפט 4.5. תכונות של אופרטורים נורמליים
נניח ש-\(f\) נורמלי, מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
נניח ש-\(f\) נורמלי, מתקיימים כל הפסוקים הבאים:
- לכל \(v\in V\) מתקיים\(\left\Vert f^{*}\left(v\right)\right\Vert =\left\Vert f\left(v\right)\right\Vert \).
- לכל \(j,k\in\MKnatural\) מתקיים \(f^{k}\circ\left(f^{*}\right)^{j}=\left(f^{*}\right)^{j}\circ f^{k}\).
- לכל \(P\in\MKfield\left[x\right]\) גם \(P\left(f\right)\) הוא אופרטור נורמלי.
- לכל \(v\in V\) ולכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים\[ f\left(v\right)=\lambda\cdot v\Longleftrightarrow f^{*}\left(v\right)=\overline{\lambda}\cdot v \]ובפרט \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\Longleftrightarrow\overline{\lambda}\in\sigma\left(f^{*}\right)\).
- לכל \(\lambda,\mu\in\sigma\left(f\right)\) כך ש-\(\lambda\neq\mu\) מתקיים \(V_{\lambda}\perp V_{\mu}\).
- \(\clubsuit\)
- נזכיר שוב שאופרטורים הרמיטיים ואופרטורים אוניטריים הם בפרט אופרטורים נורמליים ולכן אלו גם תכונות שלהם.
- \(\clubsuit\)
- אפילו אם \(\MKfield=\MKcomplex\) אין זה מוכרח שקיימים \(\lambda,\mu\in\sigma\left(f\right)\) כך ש-\(\lambda\neq\mu\), במקרה כזה סעיף4מתקיים באופן ריק (כמובן שאם \(\MKfield=\MKreal\) אז יכול להיות של-\(f\) אין ערכים עצמיים בכלל).
- \(\clubsuit\)
- העובדה ש-\(f^{2}=f\) אומרת ש-\(f\) הוא אופרטור הטלה ואילו העובדה ש-\(\MKim f=\left(\ker f\right)^{\perp}\) אומרת שזוהי ההטלה האורתוגונלית על התמ"ו \(\MKim f\).
הוכחה. \(\:\)
- נובע ישירות מהגדרת הנורמה ומסעיף1במשפט הקודם (4.1).
- הרכבה מקיימת את חוק הקיבוץ (אסוציאטיביות) וכש-\(f\) נורמלי ההרכבה שלו עם \(f^{*}\) מקיימת גם את חוק החילוף (קומוטטיביות).
- יהי \(P\in\MKfield\left[T\right]\) ויהיו \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}\in\MKfield\) כך ש-\(P\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot x^{k}\).\[\begin{align*} \Rightarrow\left(P\left(f\right)\right)^{*} & =\left(\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot f^{k}\right)^{*}=\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cdot f^{k}\right)^{*}=\sum_{k=0}^{n}\overline{a_{k}}\cdot\left(f^{k}\right)^{*}=\sum_{k=0}^{n}\overline{a_{k}}\cdot\left(f^{*}\right)^{k}\\ \Rightarrow P\left(f\right)\circ\left(P\left(f\right)\right)^{*} & =\left(\sum_{k=0}^{n}{\color{blue}a_{k}\cdot f^{k}}\right)\circ\left(\sum_{j=0}^{n}\overline{a_{k}}\cdot\left(f^{*}\right)^{k}\right)=\sum_{k=0}^{n}\left({\color{blue}a_{k}\cdot f^{k}}\circ{\color{red}\sum_{j=0}^{n}}\overline{a_{j}}\cdot\left(f^{*}\right)^{j}\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n}\left({\color{red}\sum_{j=0}^{n}}{\color{blue}a_{k}\cdot f^{k}}\circ\left({\color{green}\overline{a_{j}}}\cdot\left(f^{*}\right)^{j}\right)\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(\sum_{j=0}^{n}a_{k}\cdot{\color{green}\overline{a_{j}}}\cdot\left({\color{orange}f^{k}\circ\left(f^{*}\right)^{j}}\right)\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n}\left(\sum_{j=0}^{n}{\color{cyan}a_{k}}\cdot{\color{magenta}\overline{a_{j}}}\cdot\left({\color{orange}\left(f^{*}\right)^{j}\circ f^{k}}\right)\right)={\color{blue}\sum_{k=0}^{n}}\left({\color{green}\sum_{j=0}^{n}}\left({\color{magenta}\overline{a_{j}}}\cdot\left(f^{*}\right)^{j}\right)\circ\left({\color{cyan}a_{k}}\cdot f^{k}\right)\right)\\ & ={\color{green}\sum_{j=0}^{n}}\left({\color{blue}\sum_{k=0}^{n}}\left({\color{red}\overline{a_{j}}\cdot\left(f^{*}\right)^{j}}\right)\circ\left(a_{k}\cdot f^{k}\right)\right)=\sum_{j=0}^{n}\left({\color{red}\overline{a_{j}}\cdot\left(f^{*}\right)^{j}}\circ{\color{blue}\sum_{k=0}^{n}}\left(a_{k}\cdot f^{k}\right)\right)\\ & =\left(\sum_{j=0}^{n}{\color{red}\overline{a_{j}}\cdot\left(f^{*}\right)^{j}}\right)\circ\left(\sum_{k=0}^{n}\left(a_{k}\cdot f^{k}\right)\right)=\left(P\left(f\right)\right)^{*}\circ P\left(f\right) \end{align*}\]ומהגדרה נקבל ש-\(P\left(f\right)\) נורמלי.
- מהסעיף הקודם נובע שגם \(f-\MKid_{V}\) הוא אופרטור נורמלי, נניח של-\(f\) יש ערך עצמי \(\lambda\in\MKfield\) ויהי \(v\in V\) כך ש-\(f\left(v\right)=\lambda\cdot v\).\[\begin{align*} \Rightarrow0_{V} & =f\left(v\right)-\lambda\cdot v=\left(f-\lambda\cdot\MKid_{V}\right)\left(v\right)=\left(f^{*}-\left(\lambda\cdot\MKid_{V}\right)^{*}\right)\left(v\right)\\ & =\left(f^{*}-\overline{\lambda}\cdot\MKid_{V}^{*}\right)\left(v\right)=f^{*}\left(v\right)-\overline{\lambda}\cdot\MKid_{V}\left(v\right)=f^{*}\left(v\right)-\overline{\lambda}\cdot v \end{align*}\]\[ \Rightarrow f^{*}\left(v\right)=\overline{\lambda}\cdot v \]הגרירה בכיוון ההפוך נובעת מהעובדה ש-\(\left(f^{*}\right)^{*}=f\) ו-\(\overline{\overline{\lambda}}=\lambda\).
- נניח של-\(f\) יש לו שני ערכים עצמיים שונים \(\lambda,\mu\in\MKfield\) ובהג"כ נניח ש-\(\mu\neq0\), אם כן יהיו \(v\in V_{\lambda}\) ו-\(w\in V_{\mu}\).\[ \Rightarrow\left\langle v\mid w\right\rangle =\left\langle v\mid\frac{1}{\mu}\cdot\mu\cdot w\right\rangle =\frac{1}{\mu}\cdot\left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle =\frac{1}{\mu}\cdot\left\langle f^{*}\left(v\right)\mid w\right\rangle =\frac{1}{\mu}\cdot\left\langle \overline{\lambda}\cdot v\mid w\right\rangle =\frac{\lambda}{\mu}\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle \]כעת נניח בשלילה ש-\(\left\langle v\mid w\right\rangle \neq0\),\[ \Rightarrow\mu=\mu\cdot\frac{\left\langle v\mid w\right\rangle }{\left\langle v\mid w\right\rangle }=\lambda \]בסתירה לכך ש-\(\mu\neq\lambda\). מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(\left\langle v\mid w\right\rangle =0\), כלומר \(v\perp w\) ומכיוון ש-\(v\) ו-\(w\) היו שרירותיים נובע מזה ש-\(V_{\lambda}\perp V_{\mu}\).
מסקנה 4.6. אם \(f\) הרמיטי אז כל הערכים העצמיים שלו ממשיים, ואם \(f\) אנטי-הרמיטי אז כל הערכים העצמיים שלו מדומים.
משפט 4.7. נניח ש-\(V\) נ"ס, מתקיימים שני הפסוקים הבאים:
- אם \(f\) הרמיטי או אנטי-הרמיטי אז \(\MKim f=\left(\ker f\right)^{\perp}\).
- אם \(f\) הרמיטי או אנטי-הרמיטי אז לכל תמ"ו \(W\subseteq V\) שמור תחת \(f\) גם \(W^{\perp}\) שמור תחת \(f\).
הוכחה. בשביל אופרטורים הרמיטיים סעיף1נובע ישירות מסעיף7במשפט 2.11, סעיף2נובע מסעיף8במשפט זה, ובשביל אופרטורים אנטי-הרמיטיים יש לשים לב לכך ש-\(\MKim\left(f\right)=\MKim\left(-f\right)\) ושתמ"ו \(W\subseteq V\) שמור תחת \(f\) אם"ם הוא שמור תחת \(-f\).
טענה 4.8. נניח ש-\(V\) נ"ס ונביא לטענה זו שני ניסוחים שקולים:
- כל הטלה אורתוגונלית על תמ"ו היא אופרטור הרמיטי.
- אם \(f^{2}=f\) ו-\(\MKim f=\left(\ker f\right)^{\perp}\) אז \(f\) הרמיטי.
הוכחה. הוכחה 1 - ע"פ הנוסחה המפורשת של האופרטור הצמוד
תהא \(p_{W}:V\rightarrow V\) הטלה אורתוגונלית על תמ"ו \(W\subseteq V\) (כלומר \(\left(p_{W}\right)^{2}=p_{W}\) ובנוסף \(W=\MKim p_{W}\) ו-\(W^{\perp}=\ker P_{W}\)) ונניח ש-\(f=p_{W}\).
נדגיש שכל התכונות של \(p_{W}\) כהטלה אורתוגונלית נובעות מהעובדה ש-\(\left(p_{W}\right)^{2}=p_{W}\) וש-\(\MKim p_{W}=\left(\ker p_{W}\right)^{\perp}\), לכן כשהנחנו ש-\(f=p_{W}\) לא הנחנו שום דבר מלבד ש-\(f^{2}=f\) ו-\(\MKim f=\left(\ker f\right)^{\perp}\).
יהי \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right)\) בסיס אורתונורמלי של \(W\) ויהי \(\left(u_{k+1},u_{k+2},\ldots,u_{n}\right)\) בסיס אורתונורמלי של \(W^{\perp}\), אם כן \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) הוא בסיס אורתונורמלי של \(V\).
יהי \(v\in V\) ויהיו \(w\in W\) ו-\(w^{\perp}\in W^{\perp}\) כך ש-\(v=w+w^{\perp}\), אם כן \(p_{W}\left(v\right)=w\).
מהנוסחה המפורשת של הצמוד, ממשפט 1.12 ומתכונות ההטלה נובע שמתקיים (לכל \(v\in V\)):\[\begin{align*} \left(p_{W}\right)^{*}\left(v\right) & =\sum_{i=1}^{k}\left\langle {\color{red}p_{W}\left(u_{i}\right)}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}\left\langle {\color{blue}p_{W}\left(u_{i}\right)}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}=\sum_{i=1}^{k}\left\langle {\color{red}u_{i}}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}\left\langle {\color{blue}0_{V}}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{k}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}{\color{blue}0}\cdot u_{i}=\sum_{i=1}^{k}\left\langle u_{i}\mid{\color{red}v}\right\rangle \cdot u_{i}=\sum_{i=1}^{k}\left\langle u_{i}\mid w+{\color{red}w^{\perp}}\right\rangle \cdot u_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{k}\left(\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle +\left\langle u_{i}\mid{\color{red}w^{\perp}}\right\rangle \right)\cdot u_{i}=\sum_{i=1}^{k}\left(\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle +{\color{red}0}\right)\cdot u_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{k}\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle \cdot u_{i}=\sum_{i=1}^{k}\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle \cdot u_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}{\color{red}0}\cdot u_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{k}\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle \cdot u_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}{\color{red}\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle }\cdot u_{i}=w=p_{W}\left(v\right) \end{align*}\]
תהא \(p_{W}:V\rightarrow V\) הטלה אורתוגונלית על תמ"ו \(W\subseteq V\) (כלומר \(\left(p_{W}\right)^{2}=p_{W}\) ובנוסף \(W=\MKim p_{W}\) ו-\(W^{\perp}=\ker P_{W}\)) ונניח ש-\(f=p_{W}\).
נדגיש שכל התכונות של \(p_{W}\) כהטלה אורתוגונלית נובעות מהעובדה ש-\(\left(p_{W}\right)^{2}=p_{W}\) וש-\(\MKim p_{W}=\left(\ker p_{W}\right)^{\perp}\), לכן כשהנחנו ש-\(f=p_{W}\) לא הנחנו שום דבר מלבד ש-\(f^{2}=f\) ו-\(\MKim f=\left(\ker f\right)^{\perp}\).
יהי \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{k}\right)\) בסיס אורתונורמלי של \(W\) ויהי \(\left(u_{k+1},u_{k+2},\ldots,u_{n}\right)\) בסיס אורתונורמלי של \(W^{\perp}\), אם כן \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) הוא בסיס אורתונורמלי של \(V\).
יהי \(v\in V\) ויהיו \(w\in W\) ו-\(w^{\perp}\in W^{\perp}\) כך ש-\(v=w+w^{\perp}\), אם כן \(p_{W}\left(v\right)=w\).
מהנוסחה המפורשת של הצמוד, ממשפט 1.12 ומתכונות ההטלה נובע שמתקיים (לכל \(v\in V\)):\[\begin{align*} \left(p_{W}\right)^{*}\left(v\right) & =\sum_{i=1}^{k}\left\langle {\color{red}p_{W}\left(u_{i}\right)}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}\left\langle {\color{blue}p_{W}\left(u_{i}\right)}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}=\sum_{i=1}^{k}\left\langle {\color{red}u_{i}}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}\left\langle {\color{blue}0_{V}}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{k}\left\langle u_{i}\mid v\right\rangle \cdot u_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}{\color{blue}0}\cdot u_{i}=\sum_{i=1}^{k}\left\langle u_{i}\mid{\color{red}v}\right\rangle \cdot u_{i}=\sum_{i=1}^{k}\left\langle u_{i}\mid w+{\color{red}w^{\perp}}\right\rangle \cdot u_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{k}\left(\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle +\left\langle u_{i}\mid{\color{red}w^{\perp}}\right\rangle \right)\cdot u_{i}=\sum_{i=1}^{k}\left(\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle +{\color{red}0}\right)\cdot u_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{k}\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle \cdot u_{i}=\sum_{i=1}^{k}\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle \cdot u_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}{\color{red}0}\cdot u_{i}\\ & =\sum_{i=1}^{k}\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle \cdot u_{i}+\sum_{i=k+1}^{n}{\color{red}\left\langle u_{i}\mid w\right\rangle }\cdot u_{i}=w=p_{W}\left(v\right) \end{align*}\]
הוכחה. הוכחה 2 - אלגברית
לכל \(v\in V\) מתקיים:\[ f\left(v-f\left(v\right)\right)=f\left(v\right)-f^{2}\left(v\right)=f\left(v\right)-f\left(v\right)=0_{V} \]מכאן שלכל \(v\in V\) מתקיים \(v-f\left(v\right)\in\ker\left(T\right)=\left(\MKim T\right)^{\perp}\) ולכן גם (לכל \(w\in V\)):\[ {\color{red}\left\langle v-f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle =0} \]אם כן לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} \left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle & =\left\langle f\left(v\right)+\left(v-f\left(v\right)\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle +{\color{red}\left\langle v-f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle }=\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle \\ \left\langle f\left(v\right)\mid w\right\rangle & =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)+\left(w-f\left(w\right)\right)\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle +{\color{red}\left\langle f\left(v\right)\mid w-f\left(w\right)\right\rangle }=\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle \end{align*}\]מכאן שלכל \(v,w\in V\) מתקיים \(\left\langle f\left(v\right)\mid w\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle \) ומטענה 2.10 נובע ש-\(f^{*}=f\).
לכל \(v\in V\) מתקיים:\[ f\left(v-f\left(v\right)\right)=f\left(v\right)-f^{2}\left(v\right)=f\left(v\right)-f\left(v\right)=0_{V} \]מכאן שלכל \(v\in V\) מתקיים \(v-f\left(v\right)\in\ker\left(T\right)=\left(\MKim T\right)^{\perp}\) ולכן גם (לכל \(w\in V\)):\[ {\color{red}\left\langle v-f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle =0} \]אם כן לכל \(v,w\in V\) מתקיים:\[\begin{align*} \left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle & =\left\langle f\left(v\right)+\left(v-f\left(v\right)\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle +{\color{red}\left\langle v-f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle }=\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle \\ \left\langle f\left(v\right)\mid w\right\rangle & =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)+\left(w-f\left(w\right)\right)\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle +{\color{red}\left\langle f\left(v\right)\mid w-f\left(w\right)\right\rangle }=\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle \end{align*}\]מכאן שלכל \(v,w\in V\) מתקיים \(\left\langle f\left(v\right)\mid w\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle \) ומטענה 2.10 נובע ש-\(f^{*}=f\).
טענה 4.9. אם \(f\) נורמלי אז לכל \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) התמ"וים \(V_{\lambda}\) ו-\(\left(V_{\lambda}\right)^{\perp}\) שמורים הן תחת \(f\) והן תחת \(f^{*}\).
הוכחה. נניח ש-\(f\) נורמלי ויהי \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) (אם אין כזה הטענה טריוויאלית), \(V_{\lambda}\) שמור תחת \(f\) מהגדרה וכבר ראינו שזה אומר ש-\(\left(V_{\lambda}\right)^{\perp}\) שמור תחת \(f^{*}\) (סעיף8במשפט 2.11).
נוכיח ש-\(V_{\lambda}\) שמור תחת \(f^{*}\), מסעיף5במשפט 4.2 נובע שלכל \(v\in V_{\lambda}\) מתקיים:\[ f\left(f^{*}\left(v\right)\right)=f^{*}\left(f\left(v\right)\right)=f^{*}\left(\lambda\cdot v\right)=\lambda\cdot f^{*}\left(v\right) \]כלומר \(f^{*}\left(v\right)\in V_{\lambda}\) ומכאן ש-\(V_{\lambda}\) שמור תחת \(f^{*}\).
נוכיח ש-\(\left(V_{\lambda}\right)^{\perp}\) שמור תחת \(f\), לכל \(v\in V_{\lambda}\) ולכל \(w\in\left(V_{\lambda}\right)^{\perp}\) מתקיים:\[ \left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle f^{*}\left(v\right)\mid w\right\rangle =\left\langle \overline{\lambda}\cdot v\mid w\right\rangle =\lambda\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle =0 \]
נוכיח ש-\(V_{\lambda}\) שמור תחת \(f^{*}\), מסעיף5במשפט 4.2 נובע שלכל \(v\in V_{\lambda}\) מתקיים:\[ f\left(f^{*}\left(v\right)\right)=f^{*}\left(f\left(v\right)\right)=f^{*}\left(\lambda\cdot v\right)=\lambda\cdot f^{*}\left(v\right) \]כלומר \(f^{*}\left(v\right)\in V_{\lambda}\) ומכאן ש-\(V_{\lambda}\) שמור תחת \(f^{*}\).
נוכיח ש-\(\left(V_{\lambda}\right)^{\perp}\) שמור תחת \(f\), לכל \(v\in V_{\lambda}\) ולכל \(w\in\left(V_{\lambda}\right)^{\perp}\) מתקיים:\[ \left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle f^{*}\left(v\right)\mid w\right\rangle =\left\langle \overline{\lambda}\cdot v\mid w\right\rangle =\lambda\cdot\left\langle v\mid w\right\rangle =0 \]
4.3 המשפט הספקטרלי
במרחבים הרמיטיים
נניח ש-\(V\) הרמיטי, כלומר \(V\) נ"ס ו-\(\MKfield=\MKcomplex\).
משפט 4.10. המשפט הספקטרלי
- \(f\) נורמלי אם"ם \(f\) לכסין אוניטרית.
- מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) היא נורמלית אם"ם היא לכסינה אוניטרית.
הוכחה. \(\:\)
- \(\Leftarrow\)
נניח ש-\(f\) נורמלי ונוכיח את הטענה באינדוקציה על הממד של \(V\), אם \(\dim V=1\) הטענה טריוויאלית ולכן נעבור ישר לצעד האינדוקציה.
נניח שהמשפט נכון לכל ממ"פ מממד קטן ממש מ-\(\dim V\) ויהי \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\) (נזכור שמעל המרוכבים \(\sigma\left(f\right)\neq\emptyset\)), בטענה הקודמת (4.6) ראינו ש-\(V_{\lambda}\) ו-\(\left(V_{\lambda}\right)^{\perp}\) שמורים תחת \(f\) ותחת \(f^{*}\)ולכן הצמצום של \(f\) ל-\(V_{\lambda}\) מתחלף עם הצמצום של \(f^{*}\) ל-\(V_{\lambda}\) ואותו הדבר נכון גם עבור \(\left(V_{\lambda}\right)^{\perp}\), כלומר הצמצומים של \(f\) ל-\(V_{\lambda}\) ול-\(\left(V_{\lambda}\right)^{\perp}\) (בנפרד) הם אופרטורים נורמליים ולכן ע"פ הנחת האינדוקציה הם לכסינים אוניטרית.
כלומר קיימים בסיסים אורתונורמליים של \(V_{\lambda}\) ו-\(\left(V_{\lambda}\right)^{\perp}\) שכל איבריהם הם וקטורים עצמיים של \(f\), השרשור של בסיסים אלו הוא בסיס אורתונורמלי של \(V\) שכל איבריו הם וקטורים עצמיים של \(f\) ומכאן ש-\(f\) לכסין אוניטרית. - \(\Rightarrow\)
נניח ש-\(f\) לכסין אוניטרית, יהי \(\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) בסיס אורתונורמלי מלכסן שלו ויהיו \(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}\in\MKcomplex\) כך ש-\(f\left(u_{i}\right)=\lambda_{i}\cdot u_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
מכאן שלכל \(n\geq i\in\MKnatural\) מתקיים \(f^{*}\left(u_{i}\right)=\overline{\lambda_{i}}\cdot u_{i}\) ולכן גם:\[\begin{align*} f\left(f^{*}\left(u_{i}\right)\right) & =f\left(\overline{\lambda_{i}}\cdot u_{i}\right)=\overline{\lambda_{i}}\cdot f\left(u_{i}\right)=\overline{\lambda_{i}}\cdot\lambda_{i}\cdot u_{i}=\lambda_{i}\cdot\overline{\lambda_{i}}\cdot u_{i}\\ & =\lambda_{i}\cdot f^{*}\left(u_{i}\right)=f^{*}\left(\lambda_{i}\cdot u_{i}\right)=f^{*}\left(f\left(u_{i}\right)\right) \end{align*}\]וממילא \(f\circ f^{*}=f^{*}\circ f\), כלומר \(f\) נורמלי. - המשפט עבור מטריצות נובע ישירות מהמשפט עבור אופרטורים ומהעובדה שמעבר בסיס במטריצות מתבצע ע"י כפל במטריצה הפיכה מצד אחד ובהופכית שלה מהצד השני.
מסקנה 4.11. אם \(f\) נורמלי אז \(f=\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}\cdot p_{i}\), כאשר \(p_{i}\) היא ההטלה האורתוגונלית על \(V_{\lambda_{i}}\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\) ו-\(\sigma\left(f\right)=\left\{ \lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}\right\} \).
מסקנה 4.12. \(\:\)
- באופרטורים ומטריצות הרמיטיים:
- \(f\) הרמיטי אם"ם קיים בסיס אורתונורמלי שכל איבריו הם וקטורים עצמיים של \(f\) עם ערכים עצמיים ממשיים.
- מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) היא הרמיטית אם"ם קיימת מטריצה אוניטרית \(U\in M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) כך ש-\(U^{-1}AU\) אלכסונית וממשית.
- באופרטורים ומטריצות אנטי-הרמיטיים:
- \(f\) אנטי-הרמיטי אם"ם קיים בסיס אורתונורמלי שכל איבריו הם וקטורים עצמיים של \(f\) עם ערכים עצמיים מדומים.
- מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) היא אנטי-הרמיטית אם"ם קיימת מטריצה אוניטרית \(U\in M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) כך ש-\(U^{-1}AU\) אלכסונית ומדומה29כלומר בכל הקואורדינטות שלה יש מספרים מדומים..
- באופרטורים ומטריצות אוניטריים:
- \(f\) אוניטרי אם"ם קיים בסיס אורתונורמלי שכל איבריו הם וקטורים עצמיים של \(f\) בעלי ערכים עצמיים שערכם המוחלט הוא \(1\) (כלומר נמצאים על מעגל היחידה במישור המרוכב).
- מטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) היא אוניטרית אם"ם קיימת מטריצה אוניטרית \(U\in M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) כך ש-\(U^{-1}AU\) אלכסונית שאיבריה על האלכסון בעלי ערך מוחלט \(1\) (כלומר נמצאים על מעגל היחידה במישור המרוכב).
- \(\clubsuit\)
- שימו לב (!): בלבול נפוץ מאד (לא תאמינו כמה פעמים טעיתי בזה...) הוא לחשוב שהעובדה שהערך המוחלט של ערך עצמי הוא \(1\) אומרת שמדובר ב-\(\pm1\), זה לא נכון וכפי שהזכרנו כל המספרים המרוכבים שעל מעגל היחידה במישור המרוכב מקיימים זאת; כמובן שהסיבה לבלבול היא שאנו רגילים לעבוד בממשיים...
מסקנה 4.13. \(\:\)
- \(f\) נורמלי אם"ם קיים בסיס \(U\) אורתונורמלי המטריצה \(\left[f\right]_{U}\) אלכסונית.
- \(f\) הרמיטי אם"ם קיים בסיס \(U\) אורתונורמלי המטריצה \(\left[f\right]_{U}\) אלכסונית וממשית.
- \(f\) אנטי-הרמיטי אם"ם קיים בסיס \(U\) אורתונורמלי המטריצה \(\left[f\right]_{U}\) אלכסונית ומדומה.
- \(f\) אוניטרי אם"ם קיים בסיס \(U\) אורתונורמלי המטריצה \(\left[f\right]_{U}\) אלכסונית שאיבריה על האלכסון הם בעלי ערך מוחלט \(1\) (כלומר נמצאים על מעגל היחידה במישור המרוכב).
במרחבים אוקלידיים
נניח ש-\(V\) אוקלידי, כלומר \(V\) נ"ס ו-\(\MKfield=\MKreal\).
- \(\clubsuit\)
- ההוכחה של המשפט הספקטרלי מעל המרוכבים הסתמכה על שלוש נקודות חשובות:
- לכל תמ"ו \(W\subseteq V\) שמור תחת \(f\) יש ל-\(f\mid_{W}\) ערך עצמי, כלומר קיים \(\lambda\in\MKfield\) כך ש-\(V_{\lambda}\) אינו טריוויאלי (ראינו בחלק שעסק באופרטורים שא"א לומר זאת בוודאות מעל \(\MKreal\)).
- אם \(f\) נורמלי אז מרחבים עצמיים שונים מאונכים זה לזה (סעיף5במשפט 4.2).
- אם \(f\) נורמלי אז תתי המרחבים הווקטוריים \(V_{\lambda}\) ו-\(\left(V_{\lambda}\right)^{\perp}\) שמורים תחת \(f\) ותחת \(f^{*}\) (טענה 4.6).
כשאנו רוצים להעתיק את המשפט לאופרטורים נורמליים מעל הממשיים אנחנו נתקלים בבעיה בנקודה הראשונה, ואכן ישנם אופרטורים נורמליים מעל הממשיים שאין להם ערכים עצמיים כלל ולכן אינם לכסינים - הדוגמה הקלאסית היא אופרטור הסיבוב בזווית ישרה נגד כיוון השעון (שהיא מטריצה אורתוגונלית):\[ \left[\begin{array}{cc} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{array}\right]\in M_{2}\left(\MKreal\right) \]זו הסיבה לכך שהמשפט יהיה נכון אך ורק עבור אופרטורים ומטריצות סימטריים משום שרק אצלם כל הערכים העצמיים ממשיים.
טעות נפוצה בניסיון להוכיח שלמטריצות סימטריות יש ערכים עצמיים היא לומר שכל מטריצה סימטרית מעל הממשיים היא גם מטריצה הרמיטית מעל המרוכבים ואז כפי שראינו יש לה ערך עצמי ממשי ולכן גם כמטריצה מעל הממשיים יש לה את אותו ערך עצמי; זה פשוט לא נכון!
בואו ננתח את זה ביסודיות: העובדה שלמטריצה \(A\in M_{n}\left(\MKcomplex\right)\) יש ערך עצמי \(\lambda\in\MKreal\) אומרת שקיים וקטור \(\boldsymbol{{\color{blue}v\in\MKcomplex^{n}}}\) כך ש-\(A\cdot v=\lambda\cdot v\) אבל ייתכן ש-\(\boldsymbol{{\color{blue}v\notin\MKreal^{n}}}\) ולכן לא הצלחנו להוכיח שום דבר לגבי \(A\) כמטריצה מעל הממשיים.
למעשה רימיתי מעט כאמרתי שנימוק זה אינו נכון, האמת היא (כפי שהזכרתי בחלק שעסק באופרטורים) שאם למטריצה ממשית יש צורת ז'ורדן ממשית אז יש לה גם בסיס מז'רדן ממשי30את המשפט הזה ראיתי בוויקיפדיה בערך "דמיון מטריצות" וכפי שניתן לראות שם עדיין לא למדנו את המתמטיקה הדרושה להוכחתו., מסיבה זו ורק מסיבה זו הנימוק הנ"ל דווקא תקף: ניקח את הבסיס המז'רדן של המטריצה הסימטרית שהוא למעשה בסיס מלכסן ונפעיל על כל מרחב עצמי את אלגוריתם גרם-שמידט31הנה לכם עוד נימוק לעובדה שמטריצה הרמיטית מעל המרוכבים היא לכסינה אוניטרית מבלי להסתמך על ההוכחה שהבאנו לעיל בשביל אופרטורים נורמליים.. הבעיה בנימוק הזה היא שהוא מסתמך על מתמטיקה גבוהה יותר שלא למדנו עדיין ולכן העדפתי הוכחה אחרת.
משפט 4.14. \(\:\)
- \(f\) סימטרי אם"ם \(f\) לכסין אורתוגונלית.
- מטריצה\(A\in M_{n}\left(\MKreal\right)\) היא סימטרית אם"ם היא לכסינה אורתוגונלית.
הוכחה. את הגרירה מימין לשמאל קל יותר להוכיח עבור מטריצות ואת הגרירה ההפוכה נוח יותר להוכיח עבור אופרטורים, מכיוון שיש לנו שקילות מוחלטת בין מטריצות לאופרטורים אין כאן שום בעיה.
- \(\Leftarrow\)
נניח ש-\(A\) סימטרית ונוכיח את הטענה באינדוקציה על \(n\), אם \(n=1\) הטענה טריוויאלית ולכן נעבור ישירות לצעד האינדוקציה.
צעד האינדוקציה
נניח שהטענה מתקיימת לכל \(n>k\in\MKnatural\).
כמטריצה מעל הממשיים \(A\) היא גם מטריצה מעל המרוכבים וככזו יש לה ערך עצמי מעל המרוכבים, ממסקנה 4.3 נובע שכל ערך עצמי כזה הוא ממשי ולכן לפולינום האופייני של \(A\) יש שורש ממשי.
כעת נשים לב לכך שהפולינום האופייני של \(A\) כמטריצה מעל המרוכבים זהה לפולינום האופייני שלה כמטריצה מעל המרוכבים, מכאן שיש ל-\(A\) כמטריצה מעל הממשיים ערך עצמי.
אם כן יהי \(W\subseteq\MKreal^{n}\) תמ"ו שמור תחת \(T_{A}\) מממד \(1\), כפי שראינו (משפט 4.4) גם \(W^{\perp}\) שמור תחת \(T_{A}\) 32כזכור \(T_{A}\) היה ההעתקה הליניארית המוגדרת ע"י כפל המטריצה \(A\) בווקטור, כמו כן בכל הנוגע למטריצות אנחנו עובדים עם המכפלה הסקלרית ולכן \(W^{\perp}\) מוגדר על פיה.
מכאן שהצמצומים של \(T_{A}\) ל-\(W\) ול-\(W^{\perp}\) הם אופרטורים סימטריים ולכן ע"פ הנחת האינדוקציה הם לכסינים אורתוגונלית; כלומר קיימים בסיסים אורתונורמליים של \(W\) ו-\(W^{\perp}\) שכל איבריהם הם וקטורים עצמיים של \(T_{A}\), והשרשור של בסיסים אלו הוא בסיס אורתונורמלי של \(V\) שכל איבריו הם וקטורים עצמיים של \(T_{A}\) ומכאן ש-\(T_{A}\) לכסין אורתוגונלית וכך גם \(A\). - \(\Rightarrow\)
נניח ש-\(f\) לכסין אורתוגונלית: יהי \(U:=\left(u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}\right)\) בסיס אורתונורמלי מלכסן של \(\MKreal^{n}\) ויהיו \(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}\in\MKreal\) כך ש-\(f\left(\lambda_{i}\right)=\lambda_{i}\cdot u_{i}\) לכל \(n\geq i\in\MKnatural\).
מכאן שלכל \(n\geq i\in\MKnatural\) מתקיים:\[ f\left(u_{i}\right)=\lambda_{i}\cdot u_{i}=\overline{\lambda_{i}}\cdot u_{i}=f^{*}\left(u_{i}\right) \]וממילא \(f=f^{*}\), כלומר \(f\) סימטרי.
4.4 אלגוריתם ללכסון אורתוגונלי/אוניטרי
אלגוריתם ללכסון אורתוגונלי/אוניטרי
נתון אופרטור \(f\) על ממ"פ \(V\) מעל לשדה \(\MKfield\), עלינו לקבוע אם \(f\) לכסין אורתוגונלית/אוניטרית ואם כן אז גם למצוא את הצורה האלכסונית של \(f\) ובסיס אורתונורמלי מלכסן.כדי לבדוק אם \(f\) לכסין אורתוגונלית/אוניטרית ניקח בסיס \(\MKclb\) של \(V\) ונסמן \(A:=\left[f\right]_{\MKclb}\), כעת:- אם \(A^{*}=A\) אז \(f\) לכסין אורתוגונלית/אוניטרית.
- אחרת:
- אם \(\MKfield=\MKreal\) אז \(f\) אינו לכסין אורתוגונלית.
- אם \(\MKfield=\MKcomplex\) וגם \(A^{*}A=I_{n}\) ו/או \(A^{*}A=AA^{*}\) אז \(f\) לכסין אוניטרית, אחרת \(f\) אינו לכסין אוניטרית.
- נחשב את \(\chi_{f}\), כעת אנחנו יודעים מהם הערכים העצמיים של \(f\) אך יותר מזה - מספר ההופעות של כל אחד מהם בצורה האלכסונית הוא הריבוי האלגברי שלו ב-\(\chi_{f}\) - לכן כבר עכשיו אנחנו יודעים בדיוק איך נראית הצורה האלכסונית של \(f\) (עוד לפני שמצאנו בסיס מלכסן), נסמן אותה ב-\(D\).
- לכל \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\):
- נמצא בסיס ל-\(V_{\lambda}=\ker\left(f-\lambda\right)\) ע"י מציאת בסיס למרחב הפתרונות של הממ"ל:\[ \left(\left[f\right]_{\MKclb}-\lambda\cdot I_{n}\right)\cdot x=0 \]וחילוץ הווקטורים המתאימים ב-\(V\) (כל וקטור בבסיס של מרחב הפתרונות הוא וקטור קואורדינטות של וקטור ב-\(V\) ע"פ הבסיס \(\MKclb\)).
- נפעיל את אלגוריתם גרם-שמידט למציאת בסיס אורתונורמלי של \(V_{\lambda}\).
- נשרשר את הבסיסים זה לזה לבסיס אחד \(U\), מסעיף5במשפט 4.2נובע ש-\(U\) הוא בסיס אורתונורמלי.
5 רשימות לזיכרון
5.1 הגדרות
- \(\clubsuit\)
- בקובץ זה הגדרנו אובייקטים מתמטיים רבים ונתנו להם שמות דומים למדי ופעמים שאלו שמות מטעים, כמו כן בניגוד לרבים מן השמות שאנו נפגשים בהם בקורסי מתמטיקה כאן לא כל כך ברור מהי הסיבה הלשונית לשם זה, בפרק זה נסדר קצת את כל השמות ונסביר מה עומד מאחוריהם. תודה לאיתמר סלהוב שהאיר את עיניי בראותו לי את הצורך בפרק זה.
- מקור לשוני: בניגוד לכל פעולה על וקטורים שראינו עד כה פעולה זו מחזירה סקלר.
- אוריינטציה:
- המספרים הממשיים (גאומטריה אוקלידית)
- המספרים המרוכבים
- משמעות פורמלית:
- מעל הממשיים\[
x\cdot y=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{bmatrix}:=x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}+\ldots+x_{n}\cdot y_{n}=\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert \cdot\cos\theta
\]
- מעל המרוכבים\[ x\cdot y=\begin{bmatrix}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n} \end{bmatrix}:=\overline{x_{1}}\cdot y_{1}+\overline{x_{2}}\cdot y_{2}+\ldots+\overline{x_{n}}\cdot y_{n} \]
- מעל הממשיים\[
x\cdot y=\begin{bmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots\\
x_{n}
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}y_{1}\\
y_{2}\\
\vdots\\
y_{n}
\end{bmatrix}:=x_{1}\cdot y_{1}+x_{2}\cdot y_{2}+\ldots+x_{n}\cdot y_{n}=\left\Vert v\right\Vert \cdot\left\Vert w\right\Vert \cdot\cos\theta
\]
- הערה: ראינו שעל ממ"פ נ"ס זוהי המכפלה הפנימית היחידה עד כדי איזומורפיזם.
- מקור לשוני: בניגוד לכל פעולת כפל שנעשתה עד כה על וקטורים (כפל בסקלר וכפל מטריצה בווקטור) פעולה זו היא פנימית למרחב - היא נעשית בין שני וקטורים.
- אוריינטציה:
- אורך
- זווית
- משמעות פורמלית:
פעולה דו-מקומית על שני וקטורים המקיימת שלוש תכונות:- בי-ליניאריות (מעל הממשיים) או ליניאריות למחצה (מעל המרוכבים)
- סימטריה (מעל הממשיים) או סימטריה הרמיטית (מעל המרוכבים)
- חיוביות בהחלט
- הערה: מכפלה פנימית היא הכללה של המכפלה הסקלרית ובממ"פ נ"ס היא תמיד איזומורפית אליה.
- מקור לשוני: צריך לבדוק, מה הקשר בין נורמלי שפירושו עומד בתקן / רגיל לנורמל שהוא שפירושו אנך ומה הקשר של כל זה למדידת אורך???
- אוריינטציה:
- אורך
- מרחק
- משמעות פורמלית:
- האורך (נורמה של וקטור) הוא השורש של המכפלה הפנימית של וקטור עם עצמו (\(\left\Vert v\right\Vert :=\sqrt{\left\langle v\mid v\right\rangle }\)).
- המרחק בין שני וקטורים הוא האורך של וקטור ההפרש ביניהם
- הערה: הנורמה הוגדרה דווקא כך בגלל משפט פיתגורס והמכפלה הסקלרית ב-\(\MKreal^{3}\).
- מקור לשוני: עברית פשוטה, עבור המכפלה הסקלרית ב-\(\MKreal^{3}\) לניצבות יש את אותה משמעות שיש לה בגאומטריה.
- אוריינטציה:
- וקטורים
- קבוצות של וקטורים
- תתי-מרחבים וקטוריים
- משמעות פורמלית:
- המכפלה הפנימית של וקטורים ניצבים היא \(0\).
- מרחב ניצב לקבוצה (ובפרט לתמ"ו) הוא המרחב שמכיל את כל הווקטורים הניצבים לכל הווקטורים בקבוצה.
- תמ"ו והתמ"ו הניצב לו מהווים סכום ישר בממ"פ נ"ס.
- הערה: ניצבות של וקטורים הוגדרה דווקא כך מפני שזה המצב במכפלה הסקלרית, המכפלה הסקלרית של שני וקטורים ניצבים (גאומטרית) היא \(0\).
- מקור לשוני: אנגלית (orthogonal), "ortho" היא תחילית שמשמעויותיה הן אנכי, ניצב, ישר, נכון (webster); ו-"gon" היא "noun combining form"33איך אומרים את זה בעברית? שמקורה במילה היוונית לזווית (webster).
- אוריינטציה:
- וקטורים
- העתקות ליניאריות
- מטריצות
- המספרים הממשיים
- משמעות פורמלית:
- קבוצה/סדרה אורתוגונלית היא קבוצה/סדרה שבה כל זוג וקטורים שונים ניצבים זה לזה.
- העתקה אורתוגונלית היא העתקה ליניארית מעל הממשיים השומרת על המכפלה הפנימית - \(\left\langle T\left(v_{1}\right)\mid T\left(v_{2}\right)\right\rangle _{W}=\left\langle v_{1}\mid v_{2}\right\rangle _{V}\).
- מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה שהכפל בה מגדיר העתקה אורתוגונלית על \(\MKreal^{n}\) ביחס למכפלה הסקלרית.
- הערה: העתקה אורתוגונלית מעתיקה קבוצות/סדרות אורתונורמליות לקבוצות/סדרות אורתונורמליות, העתקה לינארית שידוע עליה רק שהיא מעתיקה קבוצות/סדרות אורתוגונליות לקבוצות/סדרות אורתוגונליות אינה בהכרח העתקה אורתוגונלית!
- מקור לשוני: אנגלית (orthonormal), "ortho" היא תחילית שמשמעויותיה הן אנכי, ניצב, ישר, נכון (webster); ו-"normal" הוא עומד בתקן או אנך - שניהם מתאימים לנו כאן מפני שאנו רוצים וקטורי באורך \(1\) המאונכים זה לזה.
- אוריינטציה:
- וקטורים ניצבים
- וקטורי יחידה
- משמעות פורמלית: קבוצה/סדרה אורתונורמלית היא קבוצה/סדרה שכל איבריה הם וקטורי יחידה (הנורמה שלהם היא \(1\)) שכולם ניצבים זה לזה.
- הערה: העתקה המעתיקה קבוצות/סדרות אורתונורמליות נקראת אוניטרית ומעל הממשיים גם אורתוגונלית.
- מקור לשוני: התואר "צמוד" ניתן לצמד אובייקטים מתמטיים המקיימים תכונות מסוימות באופן הדדי, הפעם הראשונה שבה אנו נפגשים בתואר זה הוא בצמוד המרוכב אך כפי שראינו ישנם צמדים נוספים.
- אוריינטציה:
- העתקות ליניאריות
- מטריצות
- המספרים המרוכבים
- משמעות פורמלית:
- ההעתקה הצמודה של העתקה \(T:V\rightarrow W\) היא ההעתקה \(T^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*}\) המוגדרת ע"י \(T^{*}\left(f\right)=f\circ T\) לכל \(f\in W^{*}\).
מעל ממ"פ כל \(v\in V\) וכל \(w\in W\) מגדירים פונקציות ע"י המכפלה הפנימית - \(l_{v}\left(\cdot\right):=\left\langle v\mid\cdot\right\rangle _{V}\) ו-\(l_{w}\left(\cdot\right):=\left\langle w\mid\cdot\right\rangle _{W}\), וכל האיברים ב-\(V^{*}\) וב-\(W^{*}\) הם מצורה זו; מה ש-\(T^{*}\) עושה במקרה כזה הוא:\[ \left\langle T^{*}\left(w\right)\mid\cdot\right\rangle _{V}=T^{*}\left(\left\langle w\mid\cdot\right\rangle _{W}\right)=T^{*}\left(l_{w}\right)=l_{w}\circ T=\left\langle w\mid T\left(\cdot\right)\right\rangle _{W}=\overline{\left\langle T\left(\cdot\right)\mid w\right\rangle _{W}} \] - המטריצה הצמודה מוגדרת ע"י \(\left[A^{*}\right]_{ij}=\overline{\left[A^{t}\right]_{ij}}=\overline{\left[A\right]_{ji}}\).
- הצמוד המרוכב של מספר \(x+iy=r\cdot\MKcis\left(\theta\right)\) הוא \(x-iy=r\cdot\MKcis\left(-\theta\right)\).
- ההעתקה הצמודה של העתקה \(T:V\rightarrow W\) היא ההעתקה \(T^{*}:W^{*}\rightarrow V^{*}\) המוגדרת ע"י \(T^{*}\left(f\right)=f\circ T\) לכל \(f\in W^{*}\).
- מקור לשוני: אוקלידס, מתמטיקאי יווני הנחשב לאבי הגאומטריה, כתב את הספר "יסודות" שעוסק בגאומטריה האינטואיטיבית לכולנו אך נכתב בצורה אקסיומטית; בתחילת המאה ה-19הבינו המתמטיקאים שאין כל הכרח לקבל את כל האקסיומות של אוקלידס וכך נתגלו גאומטריות נוספות, לפיכך הגאומטריה האינטואיטיבית נקראת גאומטריה אוקלידית ואילו גאומטריות אחרות נקראות גאומטריות לא אוקלידיות.
- אוריינטציה: המספרים הממשיים.
- משמעות פורמלית: מרחב אוקלידי הוא ממ"פ נ"ס מעל הממשיים.
- הערה: מרחבים אוקלידיים איזומטריים ל-\(\MKreal^{n}\) עם המכפלה הסקלרית ושם עובדת אותה גאומטריה אוקלידית של \(\MKreal^{3}\).
- מקור לשוני: אנגלית (unitary), מלשוןunit- יחידה (כמו וקטור יחידה).
- אוריינטציה:
- מרחבים וקטוריים
- העתקות ליניאריות
- המספרים המרוכבים
- משמעות פורמלית:
- מרחב אוניטרי הוא ממ"פ נ"ס מעל המרוכבים.
- העתקה אוניטרית היא העתקה ליניארית השומרת על המכפלה הפנימית - \(\left\langle T\left(v_{1}\right)\mid T\left(v_{2}\right)\right\rangle _{W}=\left\langle v_{1}\mid v_{2}\right\rangle _{V}\), מכיוון שלהעתקה כזו מעל הממשיים קוראים "אורתוגונלית" לניסוח "העתקה אוניטרית" יש אוריינטציה למספרים המרוכבים.
- הערה: מרחבים אוניטריים איזומטריים ל-\(\MKcomplex^{n}\) עם המכפלה הסקלרית.
- מקור לשוני: שארל הרמיט - מתמטיקאי צרפתי שעל שמו נקראת תכונות הסימטריה ההרמיטית (סימטריה ביחס להצמדה).
- אוריינטציה:
- מרחבים וקטוריים
- אופרטורים
- המספרים המרוכבים
- משמעות פורמלית:
- מרחב הרמיטי הוא ממ"פ נ"ס מעל המרוכבים.
- אופרטור על ממ"פ נקרא הרמיטי אם הוא שווה לצמוד שלו, מכיוון שלאופרטור כזה מעל הממשיים קוראים "סימטרי" לניסוח "אופרטור הרמיטי" יש אוריינטציה למספרים המרוכבים.
- אופרטור על ממ"פ נקרא אנטי-הרמיטי אם הוא נגדי לצמוד שלו, מכיוון שלאופרטור כזה מעל הממשיים קוראים "אנטי-סימטרי" לניסוח "אופרטור אנטי-הרמיטי" יש אוריינטציה למספרים המרוכבים.
- מקור לשוני: צריך לבדוק, האם זה קשור לכך שאופרטורים נורמליים מקיימים \(\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle f^{*}\left(v\right)\mid f^{*}\left(w\right)\right\rangle \) ובכך "שומרים" על הנורמה?
- אוריינטציה: אופרטורים.
- משמעות פורמלית: אופרטור על ממ"פ נקרא נורמלי אם הוא מתחלף עם הצמוד שלו.
- אופרטור אוניטרי (מעל הממשיים גם: "אורתוגונלי")
- הגדרה: לכל \(v,w\in V\) מתקיים \(\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle v\mid w\right\rangle \).
- שקילויות
- \(f\) הפיך ו-\(f^{*}=f^{-1}\).
- נניח ש-\(V\) הרמיטי, \(f\) לכסין אוניטרית וכל הערכים העצמיים שלו נמצאים על מעגל היחידה המרוכב.
יהי \(f\) אופרטור על ממ"פ \(V\) מעל לשדה \(\MKfield\).
- \(\clubsuit\)
- בניגוד לאופרטורים נורמליים ואופרטורים הרמיטיים, התחום והטווח של העתקה אוניטרית לא מוכרחים להיות זהים.
- \(\clubsuit\)
- אם \(V\) אוקלידי ו-\(f\) אורתוגונלי ניתן לפרק את \(V\) לתתי-מרחבים שמורים תחת \(f\) מגודל \(1\) או \(2\), ובתוך כל תת-מרחב כזה \(f\) פועל כסיבוב או שיקוף34בתמ"ו מממד \(1\) אין הבדל בין סיבוב ב-\(\pi\) רדיאנים לשיקוף דרך הראשית. ללא שינוי גודל המרחב.
- אופרטור הרמיטי/צמוד לעצמו (מעל הממשיים גם: "סימטרי")
- הגדרה: מתקיים \(f^{*}=f\).
- שקילויות
- לכל \(v,w\in V\) מתקיים: \(\left\langle f\left(v\right)\mid w\right\rangle =\left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle \).
- לכל \(v,w\in V\) מתקיים: \(\left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid w\right\rangle \).
- נניח ש-\(V\) נ"ס, \(f\) לכסין אוניטרית וכל הערכים העצמיים שלו ממשיים.
- אופרטור אנטי-הרמיטי (מעל הממשיים גם: "אנטי-סימטרי")
- הגדרה: מתקיים \(f^{*}=f\).
- שקילויות
- לכל \(v,w\in V\) מתקיים: \(\left\langle -f\left(v\right)\mid w\right\rangle =\left\langle v\mid f\left(w\right)\right\rangle \).
- לכל \(v,w\in V\) מתקיים: \(\left\langle v\mid-f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle f\left(v\right)\mid w\right\rangle \).
- נניח ש-\(V\) הרמיטי, \(f\) לכסין אוניטרית וכל הערכים העצמיים שלו מדומים.
- אופרטור נורמלי
- הגדרה: מתקיים \(f\circ f^{*}=f^{*}\circ f\).
- שקילויות
- לכל \(v,w\in V\) מתקיים: \(\left\langle f\left(v\right)\mid f\left(w\right)\right\rangle =\left\langle f^{*}\left(v\right)\mid f^{*}\left(w\right)\right\rangle \).
- נניח ש-\(V\) הרמיטי, \(f\) לכסין אוניטרית.
- ערכים עצמיים
- לכל \(\lambda\in\MKfield\) מתקיים \(\lambda\in\sigma\left(f\right)\Longleftrightarrow\overline{\lambda}\in\sigma\left(f^{*}\right)\).
- לכל \(\lambda,\mu\in\sigma\left(f\right)\) מתקיים \(V_{\lambda}\perp V_{\mu}\).
- נניח ש-\(V\) הרמיטי, מתקיים \(f=\sum_{i=1}^{r}\lambda_{i}\cdot p_{i}\), כאשר \(p_{i}\) היא ההטלה האורתוגונלית על \(V_{\lambda_{i}}\) לכל \(r\geq i\in\MKnatural\) ו-\(\sigma\left(f\right)=\left\{ \lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{r}\right\} \).
- \(\clubsuit\)
- אופרטורים הרמיטיים, אנטי-הרמיטיים ואוניטריים הם בפרט אופרטורים נורמליים.
- \(\clubsuit\)
- נניח ש-\(V\) נ"ס, \(f\) נורמלי / הרמיטי / אנטי-הרמיטי / אוניטרי אם"ם לכל בסיס אורתונורמלי \(U\) של \(V\)
המטריצה \(\left[f\right]_{U}\) נורמלית / הרמיטית / אנטי-הרמיטית / אוניטרית.